Permutatsioon on loendamistehnika, mida kasutatakse selleks, et määrata, kui palju on lõpliku hulga elementide järjestust. Vahetuse tegemine tähendab vahetuse tegemist ja kombinatorika probleemides tähendab see koha elementide vahetamist, arvestades nende järjestust.
Need tehnikad on osa matemaatikavaldkonnast, mida nimetatakse kombinaatoranalüüsiks ja mille eesmärk on teada ja loendada erinevaid komplekte ja nende elemente korraldavaid viise. Lihtne mutatsioon ja korduvate elementidega a lahendavad selle kategooria probleeme.
lihtne permutatsioon
Lihtne permutatsioon on piiratud hulga elementide järjestamine, kui need elemendid ei kordu, on erinevad. Seda kasutatakse nende sortide hulga määramiseks.
Kogus n elemendi hulga permutatsioonide arv on võrdne n-ga! (loeb n faktoriaali).
Lihtsate permutatsioonide arvu määramise valem on
Vaatleme n elemendiga komplekti. Nende järjekorda seadmiseks peame valima esimese ja selleks on meil n võimalust. Teise valimiseks on meil (n-1) võimalusi, üks vähem, sest esimese valimisel kasutasime juba võimalust. See protsess kestab seni, kuni järele jääb ainult üks element.
Permutatsioonide koguarvu määramiseks korrutame iga elemendi valimisel olemasolevate võimaluste arvu. Seega:
Ülaltoodud avaldist nimetatakse n faktoriaalseks ja me kasutame sümbolit ei!.
lisateavet faktoriaal siin.
Näide:
Sõna tähtede korrastamise erinevaid viise nimetatakse anagrammideks. Mitu anagrammi on olemas sõna DUCK?
Need on võimalused:
Seega, kuna sõnal PATO on 4 tähte, peame seda tegema
Seega on sõna DUCK jaoks 24 lihtsat permutatsiooni.
Lihtsad permutatsiooniharjutused
küsimus 1
Arvutage väärtus .
2. küsimus
Mõelgem järjekorrale inimestest, kes tulevad korraga, kus igal ajahetkel on kuus inimest. Kui palju erinevaid viise võiks neid inimesi järjestada esimesest viimaseni?
Iga tellimisvorm on lihtne permutatsioon, kuna isikud on ainulaadsed ja ei kordu. Niisiis, kuue inimesega on vastus 6 elemendiga permutatsioon.
3. küsimus
Mõelge sõna FORK ja vastake järgmistele küsimustele?
a) Kui palju on sõna FORK anagramme?
Kuna tähti ei korrata, on see lihtne 5-elemendiline permutatsioonijuhtum.
b) Kui palju anagramme algab tähega A?
Sel juhul fikseerime alguses tähe A ja arvutame permutatsioonid tähtedega GRFO, mis on 4 elemendi permutatsioonid.
1 võimalus tähele A x .
c) Kui palju on anagramme, kui täishäälikud on alati kõrvuti?
Üks võimalus oleks G R F A O.
Kaashäälikute tellimiseks on kolm võimalust. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Häälikute tellimiseks on kaks võimalust. P2 = 2 x 1 = 2
Rühmade (kaashäälikud ja täishäälikud) omavahel korraldamiseks on veel kaks võimalust. P2 = 2 x 1 = 2
Korrutage nüüd lihtsalt tulemused.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Seega on 24 anagrammi, kus täishäälikud on alati koos.
Permutatsioon kordusega
Korduvate elementidega permutatsioon toimub siis, kui n elemendist koosnevas komplektis on mõned neist võrdsed.
Kordustega permutatsioonide arvu määramise valemis jagame elementide koguarvu n faktoriaal korduvate elementide faktoriaalide korrutisega.
on n elemendi permutatsioonide arv.
korduvad iga tüüpi elementide arv.
on elementide koguarvu faktoriaal n.
Näited
Tehkem kindlaks, kui palju on EGG-i permutatsioone. Selle lihtsustamiseks värvime tähed. Vaatame sõna EGG anagramme.
Kolme elemendiga lihtsate permutatsioonide arvu annab
Mõnda permutatsiooni korratakse ja me ei saa neid kaks korda lugeda. Selleks peame jagama väärtuse (kuna sõnal on kolm tähte), poolt
(kuna O-tähte korratakse kaks korda).
Seega on sõna OVO tähtede permutatsioonide arv võrdne 3-ga.
Vaatame seda teist näidet, kus määratleme sõna BANANA tähtede permutatsioonide arvu.
Kus:
tähendab 6 elemendiga permutatsiooni, kus tähti A ja N korratakse.
3! sest täht A kordub kolm korda.
2! tähte N korratakse kaks korda.
Näpunäide arvutamise lihtsustamiseks on 6 väljatöötamine! kuni jõuate 3-ni!, lihtsustades nimetajat. Vaadake arengut.
Seega on sõna BANANA tähtede permutatsioonide arv võrdne 60-ga.
Võib-olla olete huvitatud kombinatoorse analüüsi järgmistest sisu:
Kombinatoriaalne analüüs
Kombinatoorse analüüsi harjutused
