Ruutfunktsioonide arvutamine

THE ruutfunktsioon, nimetatud ka 2. astme polünoomifunktsioonon funktsioon, mida tähistab järgmine avaldis:

f (x) = kirves² + bx + c

Kus The, B ja ç on reaalarvud ja The ≠ 0.

Näide:

f (x) = 2x²+ 3x + 5,

olemine,

a = 2
b = 3
c = 5

Sellisel juhul on ruutfunktsiooni polünoom 2. astmega, kuna see on muutuja suurim eksponent.

Kuidas ruutfunktsiooni lahendada?

Tutvuge samm sammu haaval ruutfunktsiooni lahendamise näite kaudu:

Näide

Leidke a, b ja c ruutfunktsioonist, mille annab: f (x) = telg² + bx + c, olles:

f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2

Esiteks asendame x iga funktsiooni väärtuste järgi ja seega on meil:

f (-1) = 8
kuni 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (võrrand I)

f (0) = 4
The. 0² + b. 0 + c = 4
c = 4 (võrrand II)

f (2) = 2
The. 2² + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (võrrand III)

Teise funktsiooni f (0) = 4 järgi on meil juba väärtus c = 4.

Niisiis, asendame saadud väärtuse väärtusega ç I ja III võrrandis teiste tundmatute määramiseks (The ja B):

(I võrrand)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

Kuna meil on võrrand The I võrrandi abil asendame väärtuse III määramiseks III B:

instagram story viewer

(III võrrand)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Lõpuks, et leida väärtust The asendame väärtused B ja ç mis on juba leitud. Varsti:

(I võrrand)

a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Seetõttu on antud ruutfunktsiooni koefitsiendid:

a = 1
b = - 3
c = 4

Funktsiooni juured

Teise astme funktsiooni juured või nullid tähistavad x väärtusi nii, et f (x) = 0. Funktsiooni juured määratakse teise astme võrrandi lahendamisega:

f (x) = kirves² + bx + c = 0

2. astme võrrandi lahendamiseks saame kasutada mitut meetodit, üks enim kasutatavat on Bhaskara valem, st:

Näide

Leidke funktsiooni f (x) = x nullid² - 5x + 6.

Lahendus:

Olemine
a = 1
b = - 5
c = 6

Asendades need väärtused Bhaskara valemis, on meil:

x võrdub lugeja miinus b pluss või miinus ruutjuur b ruudus miinus 4 a c juureots üle nimetaja 2 murdosa lõpp võrdub lugeja 5 pluss või miinus ruutjuur 25-st miinus 24 juure ots nimetaja kohal 2 murdosa x lõpp koos 1 alaindeksiga, mis võrdub lugejaga 5 pluss 1 üle nimetaja 2 murdosa lõpp võrdub 6 üle 2 võrdub 3 x 2 alaindeksiga võrdub lugeja 5 miinus 1 üle nimetaja 2 murdosa lõpp võrdub 4 üle 2 võrdub 2

Nii et juured on 2 ja 3.

Pange tähele, et ruutfunktsiooni juurte arv sõltub avaldise abil saadud väärtusest: Δ = b² – 4. B.C, mida nimetatakse diskrimineerivaks.

Seega

kui Δ > 0, funktsioonil on kaks reaalset ja erinevat juurt (x₁ ≠ x₂);
kui Δ, funktsioonil pole tegelikku juur;
kui Δ = 0, funktsioonil on kaks reaalset ja võrdset juurt (x₁ = x₂).

Ruutfunktsioonide graafik

2. astme funktsioonide graafik on kõverad, mida nimetatakse paraboolideks. erinev 1. astme funktsioonid, kus kahe punkti teadmisel on võimalik joonistada graafik, ruutfunktsioonides on vaja teada mitu punkti.

Ruutfunktsiooni kõver lõikab x-telje funktsiooni juurtes või nullides, maksimaalselt kahes punktis, sõltuvalt diskrimineerija väärtusest (Δ). Nii et meil on:

Kui Δ> 0, lõikab graafik x-telje kahes punktis;
Kui Δ
Kui Δ = 0, puudutab parabool x-telge ainult ühes punktis.

On veel üks punkt, mida nimetatakse parabooli tipp, mis on funktsiooni maksimaalne või minimaalne väärtus. Selle punkti leiate järgmise valemi abil:

x koos v alaindeksiga, mis on võrdne lugejaga, miinus b nimetaja 2 kohal murdruumi lõpuni ja y ruum koos v alaindeksiga, mis on võrdne lugejaga, miinus juurdekasv nimetaja 4 kohal murdosa lõpuni

Tipp tähistab funktsiooni maksimaalset väärtuspunkti, kui parabool on suunatud allapoole, ja minimaalset väärtust ülespoole suunatud.

Kõvera nõgususe positsiooni on võimalik tuvastada, analüüsides ainult koefitsiendi märki The. Kui koefitsient on positiivne, on nõgusus ülespoole ja negatiivse korral allapoole, see tähendab:

Niisiis, teise astme funktsiooni graafiku visandamiseks saame analüüsida funktsiooni väärtust The, arvutage funktsiooni nullid, selle tipp ja punkt, kus kõver lõikab y-telje, st kui x = 0.

Antud järjestatud paaridest (x, y) saame konstrueerida parabooli num Karteesia lennuk, leitud punktide vahelise ühenduse kaudu.

Tagasisidega sisseastumiseksami harjutused

1. (Vunesp-SP) Kõik võimalikud väärtused m mis rahuldavad 2x ebavõrdsust² - 20x - 2m> 0 kõigile x reaalide hulka kuuluvad:

a) m> 10
b) m> 25
c) m> 30
d) m e) m

Vt vastus

Alternatiiv b) m> 25

2. (EU-CE) Ruutfunktsiooni graafik f (x) = ax² + bx on parabool, mille tipp on punkt (1, - 2). Hulga x = {(- 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} elementide arv, mis kuuluvad selle funktsiooni graafikusse, on:

kuni 1
b) 2
c) 3
d) 4

Vt vastus

Alternatiiv b) 2

3. (Cefet-SP) Teades, et süsteemi võrrandid on x. y = 50 ja x + y = 15, väärtuse võimalikud väärtused x ja y nemad on:

a) {(5.15), (10.5)}
b) {(10.5), (10.5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

Vt vastus

Alternatiiv e) {(5.10), (10.5)}

Loe ka: