Trigonomeetria on matemaatikas oluline teema, mis võimaldab lisaks muudele trigonomeetrilistele funktsioonidele ka täis- ja kolmnurgas olevaid külgi ja nurki teada siinuse, koosinuse ja puutuja kaudu.
Õpingute täiustamiseks ja teadmiste laiendamiseks järgige 8 harjutuse loetelu ja lisaks 4 sisseastumiseksami küsimust, mis kõik on samm-sammult lahendatud.
1. harjutus
Hommikul hoone varju maas jälgides leidis üks inimene, et see mõõtis 63 meetrit, kui päikesekiired tegid pinnaga 30 ° nurga. Selle teabe põhjal arvutage hoone kõrgus.
Õige vastus: umbes 36,37 m.
Hoone, vari ja päikesekiir määravad täisnurga kolmnurga. 30 ° nurga ja puutuja abil saame määrata hoone kõrguse.
Kuna hoone kõrgus on h, on meil:
2. harjutus
Ümbermõõdul läbimõõduga 3 moodustab segment AC, mida nimetatakse akordiks, 90 ° nurga teise sama pikkusega akordiga CB. Mis on stringide mõõt?
Õige vastus: Trossi pikkus on 2,12 cm.
Kuna segmendid AC ja CB moodustavad 90 ° nurga ja on sama pikkusega, on moodustunud kolmnurk võrdhaarne ja alusnurgad on võrdsed.
Kuna kolmnurga sisenurkade summa on võrdne 180 ° ja meil on juba 90 ° nurk, on jäänud veel 90 °, mis jagunevad võrdselt kahe põhinurga vahel. Seega on nende väärtus võrdne 45º iga.
Kuna läbimõõt on võrdne 3 cm, on raadius 1,5 cm ja nööri pikkuse määramiseks võime kasutada koosinust 45 °.
3. harjutus
Meistrivõistlustel osalev jalgrattur läheneb finišijoonele nõlva otsas. Katse selle viimase osa kogupikkus on 60 m ning kaldtee ja horisontaali vahel moodustunud nurk on 30 °. Seda teades arvutage välja vertikaalne kõrgus, mille jalgratturil on vaja ronida.
Õige vastus: Kõrgus on 30 m.
Helistades h kõrgusele, on meil:
4. harjutus
Järgmise joonise moodustavad kolm kolmnurka, kus kõrgus h määrab kaks täisnurka. Elemendi väärtused on:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Leidke a + b väärtus.
Õige vastus:
Segmentide a ja b mõõtmised saame kindlaks määrata antud nurkade puutujate abil.
A arvutamine:
B arvutamine:
Seega
5. harjutus
Lennuk startis linnast A ja lendas sirgjooneliselt 50 km, kuni maandus B-linnas. Pärast seda lendas see veel 40 km, suundudes seekord D linna poole. Need kaks marsruuti on üksteise suhtes 90 ° nurga all. Kuid ebasoodsate ilmastikutingimuste tõttu sai piloot juhtimistornilt teate, milles teavitas teda, et ta ei saa maanduda D linnas ja ta peaks tagasi A linna.
Punktist C tagasipöörde tegemiseks peaks piloot tegema pöörde mitu kraadi paremale?
Mõelge:
patt 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
tan 51 ° = 1,25
Õige vastus: piloot peab tegema pöörde 129 ° paremale.
Joonist analüüsides näeme, et rada moodustab täisnurga kolmnurga.
Nimetagem otsitavat nurka W-ks. Nurgad W ja Z on täiendavad, see tähendab, et nad moodustavad madala nurga 180 °.
Seega W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (võrrand 1)
Nüüd on meie ülesandeks määrata Z nurk ja selleks kasutame selle puutujat.
Peame endalt küsima: Mis on nurk, mille puutuja on 1,25?
Probleem annab meile need andmed, tan 51 ° = 1,25.
Selle väärtuse leiate ka trigonomeetrilisest tabelist või teadusliku kalkulaatori abil, kasutades funktsiooni:
Asendades võrrandi 1 Z väärtuse, on meil:
W = 180 ° - 51 ° = 129 °
Harjutus 6
Ühevärviliselt teisele liikumisel kannatab ühevärviline valguskiir selle suhtes kõrvalekalle. See leviku muutus on seotud kandja murdumisnäitajatega, nagu on näidatud järgmises seos:
Snelli seadus - Descartes
Kus i ja r on langemis- ja murdumisnurgad ning n1 ja n2 keskmise 1 ja 2 murdumisnäitajad.
Õhu ja klaasi eralduspinna löömisel muudab valguskiir oma suunda, nagu joonisel näidatud. Mis on klaasi murdumisnäitaja?
Andmed: õhu murdumisnäitaja on 1.
Õige vastus: klaasi murdumisnäitaja on võrdne .
Meil olevate väärtuste asendamine:
Harjutus 7
Puidust palgi oma töökotta tirimiseks sidus lukksepp palgi külge köie ja tõmbas selle kümme jalga üle horisontaalse pinna. Nööri kaudu 40 N jõud tegi liikumissuunaga 45 ° nurga. Arvutage rakendatud jõu töö.
Õige vastus: Tehtud töö on umbes 84,85 J.
Töö on skalaarne suurus, mis saadakse jõu ja nihke korrutise tulemusel. Kui jõul ei ole sama suunda kui nihkumisel, peame selle jõu lagundama ja arvestama ainult selles suunas olevat komponenti.
Sellisel juhul peame jõu suuruse korrutama nurga koosinusega.
Nii et meil on:
8. harjutus
Kahe mäe vahel pidid kahe küla elanikud kõvasti üles ja alla sõitma. Olukorra lahendamiseks otsustati, et A ja B küla vahele ehitatakse vanersild.
Vaja oleks arvutada kahe küla vaheline kaugus sirge järgi, millele sild venitatakse. Kuna elanikud teadsid juba linnade kõrgust ja tõusunurki, sai selle vahemaa välja arvutada.
Arvutage alloleva skeemi põhjal ja teades, et linnade kõrgus oli 100 m, arvutage silla pikkus.
Õige vastus: Silla pikkus peaks olema umbes 157,73 m.
Silla pikkus on antud nurkadega külgnevate külgede summa. Helistades h kõrgusele, on meil:
Arvutamine 45 ° nurga all
Arvutamine 60 ° nurga all
Silla pikkuse määramiseks summeerime saadud väärtused.
küsimus 1
Cefet - SP
Allpool olevas kolmnurgas ABC on CF = 20 cm ja BC = 60 cm. Märkige vastavalt AF ja BE segmendi mõõtmised.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Vastus: b) 10, 20
AF määramiseks
Märgime, et AC = AF + CF, seega peame:
AF = AC - CF (võrrand 1)
CF annab probleem, mis on võrdne 20 cm-ga.
AC saab määrata 30 ° siinusega.
BC annab probleem, mis on võrdne 60 cm-ga.
Võrrandis 1 asendades on meil:
BE määramiseks
Esimene tähelepanek:
Kontrollime, kas kolmnurga sees olev joonis on ristkülik, mis on tingitud joonisel määratud täisnurkadest.
Seetõttu on nende küljed paralleelsed.
Teine tähelepanek:
BE segment moodustab täisnurga kolmnurga, mille nurk on 30 °, kus: kõrgus on võrdne meie äsja kindlaksmääratud AF-ga ja BE on hüpotenuus.
Arvutuse tegemine:
BE määramiseks kasutame 30 ° siinust
2. küsimus
EPCAR-MG
Lennuk tõuseb punktist B pideva kaldega 15 ° horisontaalsuunas. B-st 2 km kaugusel on 600 m kõrguse mäeaheliku kõrgeima punkti D vertikaalne projektsioon C, nagu on näidatud joonisel.
Andmed: cos 15 ° = 0,97; patt 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
On õige öelda, et:
a) Lennuk ei põrka saega kokku enne, kui on jõudnud 540 m kõrgusele.
b) 540 m kõrgusel toimub lennuki ja sae kokkupõrge.
c) Lennuk põrkub sae juures D juures.
d) Kui lennuk stardib 220 m enne B, säilitades sama kalde, ei toimu lennukiga saega kokkupõrget.
Vastus: b) 540 m kõrgusel toimub lennuki ja sae kokkupõrge.
Esiteks on vaja kasutada pikkuse mõõtühiku sama kordajat. Seetõttu läheme 2 km kuni 2000 m.
Järgides samu esialgseid lennutingimusi, võime ennustada kõrgust, millel lennuk asub punkti C vertikaalses projektsioonis.
Kasutades 15 ° puutujat ja määrates kõrguse h-ks, on meil:
3. küsimus
ENEM 2018
Sirge ümmarguse silindri kaunistamiseks kasutatakse ristkülikukujulist läbipaistvast pabeririba, millele on rasvase joonega joonistatud diagonaal, mis moodustab alumise servaga 30 °. Silindri aluse raadius on 6 / π cm ja riba kerimisel saadakse heeliksi kujuline joon, nagu joonisel näidatud.
Silindri kõrguse mõõteväärtus sentimeetrites on:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Vastus: b) 24√3
Joonist jälgides märkame, et silindri ümber tehti 6 pööret. Kuna tegemist on sirge silindriga, on selle kõrgus igal pool ring.
Kolmnurga aluse mõõtmise arvutamiseks.
Ringi pikkuse saab valemist:
Kus r on raadius e, võrdne ,meil on:
Kuidas läheb 6 ringil:
Kõrguse arvutamiseks saame kasutada 30 ° tan.
4. küsimus
ENEM 2017
Päikesekiired jõuavad järve pinnale selle pinnaga X nurga all, nagu joonisel näidatud.
Teatud tingimustel võib eeldada, et nende kiirte valgustugevus järvepinnal on antud umbes I (x) = k. sin (x), k on konstant ja eeldades, et X on vahemikus 0 ° kuni 90 °.
Kui x = 30º, vähendatakse valgustugevust selle maksimaalse väärtuse protsendini?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Vastus: B) 50%
30 ° siinusväärtuse asendamine funktsioonis saame:
Olles vähendanud k väärtust poole võrra, on intensiivsus 50%.
Harjutage rohkem harjutusi:
Trigonomeetria harjutused
Laiendage oma teadmisi:
Trigonomeetria täisnurkses kolmnurgas
Metrilised suhted ristküliku kolmnurgas
Trigonomeetria