Harjutused komplektide ja komplektide toimingute kohta

Matemaatikas esindavad hulgad erinevate objektide kogumist ja komplektidega tehtavad toimingud on: liitumine, ristumine ja erinevus.

Kasutage oma teadmiste kontrollimiseks allpool toodud 10 küsimust. Kasutage oma kahtluste kõrvaldamiseks kommenteeritud resolutsioone.

küsimus 1

Mõelge komplektidele

A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}

On õige öelda, et:

a) A B
b) B
c) B THE
d) B THE

Vt vastus

Õige alternatiiv: b) A B.

a) VALE. B-s on elemente, mis ei kuulu komplekti A Seetõttu ei saa me öelda, et A sisaldab B-d. Õige väide oleks B THE.

b) ÕIGE. Pange tähele, et kõik A elemendid on ka B elemendid. Seetõttu võime öelda, et A sisaldub B-s, A on osa B-st või et A on B-i alamhulk.

c) VALE. Pole ühtegi A-elementi, mis ei kuuluks komplekti B Seetõttu ei saa me öelda, et B ei sisalda A-d.

d) VALE. Kuna A on B alamhulk, siis on hulkade A ja B lõikepunkt hulk A ise: B A = A

2. küsimus

Vaadake järgmisi komplekte ja märkige õige alternatiiv.

A = {x | x on 4 positiivne kordne
B = {x | x on paarisarv ja 4 x 16}

a) 145 THE
b) 26 A ja B
c) 11 B
d) 12 A ja B

Vt vastus

Õige alternatiiv: d) 12 A ja B

Küsimuste kogumeid esindavad nende moodustumisseadused. Seega moodustatakse komplekt A positiivsete 4-kordsete, st A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...} ja hulk B kogub paarisarvusid, mis on suuremad või võrdsed 4 ja alla 16. Seetõttu on B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Alternatiivide analüüsimisel on meil:

a) VALE. 145 on arv, mis lõpeb 5-ga ja on seega 5-kordne.

b) VALE. Vaatamata sellele, et see on paarisarv, on 26 suurem kui 16 ega kuulu seetõttu komplekti B hulka.

c) VALE. 11 pole paarisarv, vaid algarv, see tähendab, et see jagub ainult 1-ga ja iseendaga.

d) ÕIGE. 12 kuulub hulka A ja B, kuna see on 4 kordne ja on paarisarv suurem kui 4 ja väiksem kui 16.

3. küsimus

Milline on hulga A = {2, 3, 5, 7, 11} moodustumise võimalik seadus?

a) A = {x | x on sümmeetriline arv ja 2 b) A = {x | x on algarv ja 1 c) A = {x | x on positiivne paaritu arv ja 1 d) A = {x | x on naturaalne arv väiksem kui 10}

Vt vastus

Õige alternatiiv: b) A = {x | x on algarv ja 1

a) VALE. Sümmeetrilised numbrid, mida nimetatakse ka vastanditeks, ilmuvad numbrireal samal kaugusel. Näiteks 2 ja - 2 on sümmeetrilised.

b) ÕIGE. Esitatav komplekt on algarvudest, kusjuures 2 on olemasolevast väikseim algarv ja ka ainus ühtlane.

c) VALE. Kuigi enamik numbreid on paaritu, on komplektis number 2, mis on paaris.

d) VALE. Kuigi kõik numbrid on loomulikud, sisaldab komplekt numbrit 11, mis on suurem kui 10.

4. küsimus

Hulkade A = {x | x liit on algarv ja 1

a) A B = {1,2,3,5,7}
b) B = {1,2,3,5,7}
c) B = {1,2,3,5,7}
annab B = {1,2,3,5,7}

Vt vastus

Õige alternatiiv: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7}

Hulga A = {x | x on algarv ja 1

A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}

a) VALE. A ei sisalda B-d, kuna element 1 ei ole A osa.

b) VALE. A ei sisaldu B-s, kuna element 2 ei ole B osa.

c) VALE. A ei kuulu B-le, kuna komplektidel on selge element.

d) ÕIGE. Hulkade liit vastab neid moodustavate elementide ühendamisele ja seda tähistab sümbol .

Seetõttu on A = {2, 3, 5, 7} ja B = {1, 3, 5, 7} liit A A B = {1, 2, 3, 5, 7}.

5. küsimus

Joonistage komplektid A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} ja C = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} Venni diagrammil ja määrake seejärel:

a) A B
b) C B
c) C - A
d) B ( Ç)

Vt vastus

Õige vastus:
a) {1, 6, 7};
b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
c) {-5, 2, 3, 5} ja
d) {1, 3, 5, 6, 7}.

Hulgi elementide levitamisel Venni diagrammil on meil:

Etteantud komplektidega toimingute tegemisel on meil järgmised tulemused:

a) A B = {1, 6, 7}

Hulkude ristumiskoha kujutamine Venni diagrammil

b) C B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}

Hulkude liidu kujutamine Venni diagrammil

c) C - A = {-5, 2, 3, 5}

Komplektide erinevuse kujutamine Venni diagrammil

d) B ( C) = {1, 3, 5, 6, 7}

küsimus 6

Pange tähele joonise koorunud ala ja märkige alternatiiv, mis seda tähistab.

a) C ( B)
b) C - (A B)
c) C (A - B)
d) C ( B)

Vt vastus

Õige vastus: b) C - (A B)

Pange tähele, et koorunud ala tähistab elemente, mis ei kuulu komplektidesse A ja B. Seetõttu on see hulkade erinevus, mille tähistame (-).

Kuna komplektidel A ja B on sama värv, võime öelda, et on olemas hulkade liit, st A ja B elementide ühendamine, mida tähistab A B.

Seetõttu võime öelda, et viirutatud ala on C erinevus A ja B ühendusest ehk C - (A B).

7. küsimus

Ülikoolieelsel kursusel on isoleeritud õppeainetes registreeritud 600 üliõpilast. Matemaatikas õpib 300 õpilast, portugali keelt 200 õpilast ja 150 õpilast nendes õppeainetes.

Arvestades kursusele registreeritud üliõpilasi (U), matemaatikat (M) õppivaid ja portugali keelt (P) õppijaid, määrake

a) matemaatika või portugali üliõpilaste arv
b) matemaatika ja Portugali õpilaste arv

Vt vastus

Õige vastus:

a) n (M P) = 450
b) n (M P) = 50

a) soovitud õpilaste arv hõlmab nii matemaatikat kui ka portugali õpilasi. Seetõttu peame leidma kahe komplekti liidu.

Tulemuse saab arvutada, lahutades kooli õpilaste koguarv nende õppeaineid mitte õppivate õpilaste arvu järgi.

n (M P) = n (U) - 150 = 600 - 150 = 450

b) kuna nõutav tulemus pärineb matemaatikat ja portugali keelt õppivatelt üliõpilastelt, peame leidma hulga ristumiskoha ehk mõlemale komplektile ühised elemendid.

Kahe komplekti ristumiskoha saame arvutada, lisades õppeainetesse registreeritud õpilaste arvu Portugali ja matemaatika ning lahutades seejärel neid kahte ainet korraga õppivate õpilaste arv aeg.

n (M P) = n (M) + n (P) - n (M P) = 300 + 200 - 450 = 50

8. küsimus

Numbrikomplektid sisaldavad järgmisi komplekte: naturaalid (ℕ), täisarvud (ℤ), ratsionaalsused (ℚ), irratsionaalsed (I), parandused (ℝ) ja kompleksid (ℂ). Märkige eelnimetatud komplektidele määratlus, mis vastab neile kõigile.

1. looduslikud arvud	() hõlmab kõiki numbreid, mida saab kirjutada murru kujul, täisarvu lugeja ja nimetajaga.
2. täisarvud	() vastab ratsionaalide ühendusele irratsionaalsetega.
3. ratsionaalsed arvud	() on kümnend-, lõpmatu ja mitteperioodiline arv ning neid ei saa esitada taandamatute murdudega.
4. irratsionaalsed arvud	() moodustatakse arvudest, mida kasutame loendustes {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}
5. reaalarvud	() sisaldab √-n tüüpi juuri.
6. Kompleksarvud	() koondab kõik loodusarvude elemendid ja nende vastandid.

Vt vastus

Õige vastus: 3, 5, 4, 1, 6, 2.

(3) ratsionaalsed arvud katke kõik arvud, mida saab kirjutada murru kujul, täisarvu lugeja ja nimetajaga. See komplekt sisaldab mittetäpseid jaotusi. ℚ = {x = a / b koos tähtedega ∈ ℤ, b ∈ ℤ ja b ≠ 0}

(5) reaalarvud vastavad ratsionaalsete ühendusele irratsionaalsetega, see tähendab = ℚ ∪ I.

(4) irratsionaalsed arvud need on kümnend-, lõpmatud ja mitteperioodilised arvud ning neid ei saa esitada taandamatute murdudega. Selles rühmas olevad numbrid tulenevad operatsioonidest, mille tulemust ei saanud murdosana kirjutada. Näiteks √ 2.

(1) looduslikud arvud moodustatakse arvudest, mida kasutame loendustes ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}.

(6) kompleksarvud sisaldavad √-n tüüpi juuri ja nii ka reaalarvude laiendit.

(2) täisarvud koondada kõik loodusarvude elemendid ja nende vastandid. Kõigi lahutamiste (nt 7–10) lahendamiseks laiendati naturaalide kogumit, kuvades seega täisarvude hulga. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

küsimus 9

(UNB-kohandatud) 200 inimeselt, keda uuriti nende eelistuste kohta telesõidumeistrivõistluste vaatamisel, koguti järgmised andmed:

• 55 vastanutest ei vaata;
• 101 Vormel-1 võistlust;
• 27 vaatavad vormel 1 ja mootorrattasõite;

Kui palju küsitletud inimesi jälgib ainult mootorrattavõistlusi?

a) 32
b) 44
c) 56
d) 28

Vt vastus

Õige vastus: b) 44.

1. samm: määrake võistlusi jälgivate inimeste koguarv

Selleks peame lihtsalt lahutama vastajate koguarvust nende hulgast, kes deklareerisid võidusõidu meistrivõistlustel mitte osalemist.

200 - 55 = 145 inimest

2. samm: arvutage inimeste arv, kes jälgivad ainult mootorrattasõite

74 + 27 + (x - 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145-74
x = 71

Lahutades kahe komplekti ristmikust x väärtuse, leiame vastajate arvu, kes jälgivad ainult mootorratta kiirussõite.

71 - 27 = 44

10. küsimus

(UEL-PR) Konkreetsel ajal oli kolmel telekanalil kavas peamise aja jooksul seebiooperid: seebiooperi A kanalil, seebiooperi B kanalil ja seebiooperi C kanalil C. 3000 inimese küsitluses küsiti, millised seebiooperid neile meeldivad. Allolevas tabelis on näidatud vaatajate arv, kes seebiooperid nauditavaks nimetasid.

Seebiooperid	Vaatajate arv
THE	1450
B	1150
Ç	900
A ja B	350
A ja C	400
B ja C	300
A, B ja C	100

Kui paljud küsitletud vaatajad ei pea ühtegi kolmest seebiooperist meeldivaks?
a) 300 vaatajat.
b) 370 vaatajat.
c) 450 vaatajat.
d) 470 vaatajat.
e) 500 vaatajat.

Vt vastus

Õige vastus: c) 450 vaatajat.

Seal on 450 vaatajat, kes ei pea ühtegi kolmest telenovellast meeldivaks.

Lisateavet leiate järgmistest tekstidest:

• Hulgateooria
• Toimingud komplektidega
• Numbrilised komplektid
• Harjutused numbrikomplektides