Lamedate kujundite ala: lahendatud ja kommenteeritud harjutused

Lame kuju pind tähistab joonise pikenduse ulatust tasapinnas. Lamedate kujunditena võime teiste hulgas mainida kolmnurka, ristkülikut, rombi, trapetsi, ringi.

Kasutage allolevaid küsimusi, et kontrollida oma teadmisi selle geomeetria olulise teema kohta.

Võistlusprobleemid on lahendatud

küsimus 1

(Cefet / MG - 2016) Ala ruudukujuline ala tuleb jagada neljaks võrdseks osaks, ka ruudukujuliseks ja ühes neist tuleb säilitada põlismetsakaitseala (koorunud ala), nagu on näidatud joonisel a järgi.

Teades, et B on segmendi AE keskpunkt ja C on segmendi EF keskpunkt, viirutatud ala, m², Anna mulle

a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.

Vt vastus

Õige alternatiiv: c) 1562.5.

Joonist jälgides märkame, et koorunud ala vastab ruudu pindalale, mille külg on 50 m, millest on lahutatud kolmnurkade BEC ja CFD pindala.

Kolmnurga BEC külje BE mõõtmine on võrdne 25 meetriga, kuna punkt B jagab külje kaheks ühtseks segmendiks (segmendi keskpunkt).

Sama juhtub külgedega EC ja CF, see tähendab, et nende mõõtmed on samuti võrdsed 25 m-ga, kuna punkt C on segmendi EF keskpunkt.

Seega saame arvutada kolmnurkade BEC ja CFD pindala. Arvestades kahte külge, mida nimetatakse aluseks, võrdub teine ​​külg kõrgusega, kuna kolmnurgad on ristkülikud.

Ruudu ja kolmnurkade BEC ja CFD pindala arvutamisel on meil:

Seetõttu on koorunud ala, m², mõõdab 1562,5.

2. küsimus

(Cefet / RJ - 2017) x küljega ruudul ja y küljega võrdkülgsel kolmnurgal on sama mõõduga alad. Seega võib öelda, et x / y suhe on võrdne järgmisega:

Vt vastus

Õige alternatiiv: .

Probleemis toodud teave on see, et piirkonnad on samad, see tähendab:

Kolmnurga pindala leitakse, korrutades aluse mõõtmise kõrguse mõõtmisega ja jagades tulemuse 2-ga. Kuna kolmnurk on võrdkülgne ja külg võrdne y-ga, antakse selle kõrguse väärtus järgmiselt:

Seetõttu võib öelda, et x / y suhe on võrdne .

3. küsimus

(IFSP - 2016) Ringikujulise avaliku väljaku raadius on 18 meetrit. Eeltoodu valguses märkige alternatiiv, mis tutvustab teie piirkonda.

a) 1017,36 m²
b) 1254,98 m²
c) 1 589,77 m²
d) 1698,44 m²
e) 1710,34 m²

Vt vastus

Õige alternatiiv: a) 1 017, 36 m².

Ruudu ala leidmiseks peame kasutama ringi pindala valemit:

A = π.R²

Raadiuse väärtuse asendamine ja π = 3,14 arvessevõtmine leiame:

A = 3,14. 18² = 3,14. 324 = 1017, 36 m²

Seetõttu on ruudu pindala 1 017, 36 m².

4. küsimus

(IFRS - 2016) Ristkülikul on mõõtmed x ja y, mis on väljendatud x-võrranditega² = 12 ja (y - 1)² = 3.

Selle ristküliku ümbermõõt ja pindala on vastavalt

a) 6√3 + 2 ja 2 + 6√3
b) 6√3 ja 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 ja 12
d) 6 ja 2√3
e) 6√3 + 2 ja 2√3 + 6

Vt vastus

Õige alternatiiv: e) 6√3 + 2 ja 2√3 + 6.

Kõigepealt lahendame võrrandid, et leida väärtused x ja y:

x²= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(y - 1) ²= 3 ⇒ y = √3 + 1

Ristküliku ümbermõõt võrdub kõigi külgede summaga:

P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2

Piirkonna leidmiseks korrutage lihtsalt x.y:

A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6

Seetõttu on ristküliku ümbermõõt ja pindala vastavalt 6√3 + 2 ja 2√3 + 6.

5. küsimus

(Apprentice Sailor - 2016) Analüüsige järgmist joonist:

Teades, et EP on keskmise poolringi raadius E-s, nagu näidatud ülaltoodud joonisel, määrake tumedama ala väärtus ja kontrollige õiget valikut. Andmed: arv π = 3

a) 10 cm²
b) 12 cm²
c) 18 cm²
d) 10 cm²
e) 24 cm²

Vt vastus

Õige alternatiiv: b) 12 cm².

Pimedaim ala leitakse, kui lisada poolringikujuline ala kolmnurga ABD alale. Alustame kolmnurga pindala arvutamisest, selleks pange tähele, et kolmnurk on ristkülik.

Helistame x AD-poolele ja arvutame selle mõõt Pythagorase teoreemi abil, nagu allpool näidatud:

5²= x² + 3²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4

Teades AD külgmõõtu, saame arvutada kolmnurga pindala:

Peame ikkagi arvutama poolümbermõõdu pindala. Pange tähele, et selle raadius võrdub poole AD-poolse mõõtmisega, seega r = 2 cm. Poolringi pindala on võrdne järgmisega:

Pimedaima ala leiab järgmiselt:_T = 6 + 6 = 12 cm²

Seetõttu on kõige tumedama ala väärtus 12 cm².

küsimus 6

(Vaenlane - 2016) Mees, kahe lapse isa, soovib osta kaks maatükki, kus on sama mõõduga alad, iga lapse jaoks üks. Üks külastatud maadest on juba piiritletud ja kuigi sellel pole tavapärast formaati (nagu on näidatud joonisel B), tegi ta vanimale pojale heameelt ja seetõttu see ka osteti. Noorimal pojal on maja, mida ta tahab ehitada, arhitektuuriprojekt, kuid selleks on tal vaja ristkülikukujulise maastikuga (nagu on näidatud joonisel A), mille pikkus on 7 m pikem kui laius.

Noorima poja rahuldamiseks peab see härra leidma ristkülikukujulise maatüki, mille mõõtmed meetrites, pikkustes ja laiustes on võrdsed

a) 7,5 ja 14,5
b) 9,0 ja 16,0
c) 9,3 ja 16,3
d) 10,0 ja 17,0
e) 13,5 ja 20,5

Vt vastus

Õige alternatiiv: b) 9.0 ja 16.0.

Kuna joonise A pindala on võrdne joonise B pindalaga, arvutame kõigepealt selle ala. Selle jaoks jagame joonise B, nagu allpool näidatud:

Pange tähele, et joonise jagamisel on meil kaks täisnurkset kolmnurka. Seetõttu võrdub joonise B pindala nende kolmnurkade pindalade summaga. Nende alade arvutamisel on meil:

Kuna joonis A on ristkülik, leitakse selle pindala järgmiselt:

THE_THE = x. (x + 7) = x² + 7x

Võrreldes joonise A pindala joonise B pindalale leitud väärtusega, leiame:

x² + 7x = 144
x² + 7x - 144 = 0

Lahendame 2. astme võrrandi, kasutades Bhaskara valemit:

Kuna mõõde ei saa olla negatiivne, arvestagem vaid väärtust, mis on võrdne 9-ga. Seetõttu on joonisel A oleva maa laius 9 m ja pikkus 16 m (9 + 7).

Seetõttu peavad pikkuse ja laiuse mõõtmised olema võrdsed vastavalt 9,0 ja 16,0.

7. küsimus

(Enem - 2015) Mobiiltelefonide ettevõttel on kaks antenni, mis asendatakse uue, võimsama antenniga. Asendatavate antennide levialad on 2 km raadiusega ringid, mille ümbermõõdud puutuvad punkti O, nagu joonisel näidatud.

Punkt O tähistab uue antenni asukohta ja selle leviala on ring, mille ümbermõõt puutub väiksemate levialade ümbermõõdud väliselt kokku. Uue antenni paigaldamisega laiendati leviala mõõtmist ruutkilomeetrites

a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π

Vt vastus

Õige alternatiiv: a) 8 π.

Leviala mõõtmise suurendus leitakse suurema ringi väiksemate ringide pindade vähendamise teel (viidates uuele antennile).

Kuna uue katvuspiirkonna ümbermõõt puudutab väliselt väiksemaid ümbermõõtusid, on selle raadius võrdne 4 km-ga, nagu on näidatud alloleval joonisel:

Arvutame pindalad A₁ ja₂ väiksematest ringidest ja pindalast A₃ suuremast ringist:

THE₁ = A₂ = 2². π = 4 π
THE₃ = 4².π = 16 π

Laienenud ala saab mõõta järgmiselt:

A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π

Seetõttu suurendati uue antenni paigaldamisel leviala pindala ruutkilomeetrites 8 π võrra.

8. küsimus

(Vaenlane - 2015) I diagramm näitab korvpalliväljaku konfiguratsiooni. Hallid trapetsid, mida nimetatakse karuputideks, vastavad piiratud aladele.

Püüdes täita Rahvusvahelise Korvpalliföderatsiooni (Fiba) keskkomitee 2010. aasta suuniseid, mis ühtlustasid märgistust erinevate sulamite puhul nähti kohtute korpustes ette muudatus, mis muutuks ristkülikuteks, nagu on näidatud skeemis II.

Pärast kavandatud muudatuste tegemist muutus iga haagise hõivatud pindala, mis vastab a (a) -le

a) kasv 5800 cm².
b) 75 400 cm kasv².
c) kasv 214 600 cm².
d) vähenemine 63 800 cm².
e) vähenemine 272 600 cm².

Vt vastus

Õige alternatiiv: a) kasv 5800 cm².

Selleks, et teada saada, mis oli okupeeritud ala muutus, arvutame ala enne ja pärast muutust.

Skeemi I arvutamisel kasutame trapetsi pindala valemit. II skeemil kasutame ristküliku pindala valemit.

Pindala muutus on siis järgmine:

A = A_II - A_Mina
A = 284 200 - 278 400 = 5800 cm²

Seetõttu muutus pärast kavandatud muudatuste tegemist kummagi haagise hõivatud pindala muutust, mis vastab 5800 cm² kasvule.

Kavandatud harjutused (resolutsiooniga)

küsimus 9

Ana otsustas oma majja ehitada ristkülikukujulise basseini, mille alus oli 8 m ja kõrgus 5 m. Ümber selle, trapetsikujuline, oli see täis rohtu.

Teades, et trapetsi kõrgus on 11 m ja selle alused on 20 m ja 14 m, siis kui suur on rohuga täidetud osa pindala?

a) 294 m²
b) 153 m²
c) 147 m²
d) 216 m²

Vt vastus

Õige alternatiiv: c) 147 m².

Kuna ristkülik, mis tähistab basseini, sisestatakse suurema figuuri, trapetsi sisse, alustame välise joonise pindala arvutamisest.

Trapetside pindala arvutatakse järgmise valemi abil:

Kus

B on suurima aluse mõõt;
b on väikseima aluse mõõt;
h on kõrgus.

Avaldise andmete asendamine valemis on meil:

Arvutame nüüd ristküliku pindala. Selleks peame lihtsalt korrutama aluse kõrgusega.

Rohuga kaetud ala leidmiseks peame trapetsi alast lahutama basseini poolt hõivatud ruumi.

Seetõttu oli rohuga täidetud ala 147 m².

Vaadake ka: Trapetsipiirkond

10. küsimus

Oma lao katuse renoveerimiseks otsustas Carlos osta koloniaalplaadid. Seda tüüpi katust kasutades on vaja iga katuseruutmeetri kohta 20 tükki.

Kui koha katuse moodustavad kaks ristkülikukujulist plaati, nagu ülaltoodud joonisel, siis mitu plaati on Carlosel vaja osta?

a) 12000 plaati
b) 16000 plaati
c) 18000 plaati
d) 9600 plaati

Vt vastus

Õige alternatiiv: b) 16000 plaati.

Lao katus on valmistatud kahest ristkülikukujulisest plaadist. Seetõttu peame arvutama ristküliku pindala ja korrutama 2-ga.

Seetõttu on katuse üldpind 800 m.². Kui iga ruutmeetri jaoks on vaja 20 plaati, arvutame lihtsa kolme reegli abil, mitu plaati täidab iga lao katuse.

Seetõttu on vaja osta 16 tuhat plaati.

Vaadake ka: Ristküliku ala

11. küsimus

Marcia soovib, et tema maja sissepääsu kaunistaksid kaks identset puidust vaasi. Kuna ta sai osta ainult ühe oma lemmikust, otsustas ta palgata mööblieseme, et ehitada veel üks samade mõõtudega vaas. Vaasil peab olema nelikülg, millel on võrdkülgne trapetsikujuline kuju ja mille põhi on ruut.

Kui mitu ruutmeetrit puitu on vaja tüki reprodutseerimiseks, arvestamata puidu paksust?

a) 0,2131 m²
b) 0,1311 m²
c) 0,2113 m²
d) 0,3121 m²

Vt vastus

Õige alternatiiv: d) 0,3121 m².

Võrdhaaruline trapets on tüüp, millel on võrdsed küljed ja erineva suurusega alused. Pildi järgi on meil trapetsi mõõtmised laeva mõlemal küljel:

Väiksem alus (b): 19 cm;
Suurem alus (B): 27 cm;
Kõrgus (h): 30 cm.

Väärtused käes, arvutame trapetsi pindala:

Kuna anum on moodustatud neljast trapetsist, peame leitud ala korrutama neljaga.

Nüüd peame arvutama vaasi aluse, mille moodustab 19 cm ruut.

Arvutatud pindade liitmisel jõuame ehitamiseks kasutatava puidu kogupindalani.

Kuid ala tuleb esitada ruutmeetrites.

Seetõttu oli puidu paksust arvestamata vaja 0,3121 m² materjali vaasi valmistamiseks.

Vaadake ka: Väljaku ala

küsimus 12

Arvutamise hõlbustamiseks, kui palju inimesi avalikel üritustel osaleb, leitakse üldiselt, et ühe ruutmeetri võtab enda alla neli inimest.

Linna aastapäeva tähistamiseks palkas linnavalitsus bändi mängima kesklinnas asuvale väljakule, mille pindala on 4000 m². Kui teadsite, et väljak oli täis, siis kui palju inimesi üritusel osales?

a) 16 tuhat inimest.
b) 32 tuhat inimest.
c) 12 tuhat inimest.
d) 40 tuhat inimest.

Vt vastus

Õige alternatiiv: a) 16 tuhat inimest.

Ruudul on neli võrdset külge ja selle pindala arvutatakse valemiga: A = L x L.

kui 1 m pärast² selles elab neli inimest, nii et neljakordne väljaku kogupindala annab meile hinnangu üritusel osalenud inimeste kohta.

Nii osales linnahalli edendatud üritusel 16 tuhat inimest.

Lisateabe saamiseks vaadake ka:

• Lamedad joonealad
• Geomeetrilised kujundid
• Pythagorase teoreem - harjutused