Keskmine, mood ja mediaan

Keskmine, režiim ja mediaan on statistikas kasutatavad keskse suundumuse mõõdikud.

Keskmine

Keskmine (M_ja) arvutamiseks liidetakse kõik andmekogumi väärtused ja jagatakse selle kogumi elementide arvuga.

Kuna keskmine on prooviväärtuste suhtes tundlik mõõt, sobib see paremini olukordadesse, kus andmed on enam-vähem ühtlaselt jaotatud, see tähendab suurte lahknevusteta väärtused.

Valem

Olemine,

M_ja: keskmine
x₁, x₂, x₃,..., x_ei: andmete väärtused
n: andmekogumi elementide arv

Näide

Korvpallimeeskonna mängijatel on järgmised vanused: 28, 27, 19, 23 ja 21 aastat. Mis on selle meeskonna keskmine vanus?

Lahendus

Loe ka Lihtne keskmine ja kaalutud keskmine ja Geomeetriline keskmine.

Mood

Mood (M_O) tähistab andmekogumi kõige sagedasemat väärtust, nii et selle määratlemiseks piisab, kui jälgida väärtuste ilmumise sagedust.

Andmekogumit nimetatakse bimodaalseks, kui sellel on kaks režiimi, see tähendab, et kaks väärtust on sagedasemad.

Näide

Üheks päevaks kingapoes müüdi järgmisi kinganumbreid: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 ja 41. Mis on selle valimi moeväärtus?

Lahendus

Müüdud numbreid jälgides märkasime, et number 36 oli kõrgeima sagedusega (3 paari), seetõttu on režiim võrdne:

M_O = 36

mediaan

Mediaan (M_d) tähistab andmekogumi põhiväärtust. Mediaanväärtuse leidmiseks on vaja paigutada väärtused kasvavas või kahanevas järjekorras.

Kui hulga elementide arv on ühtlane, leitakse mediaan kahe keskväärtuse keskmise järgi. Seega need väärtused liidetakse ja jagatakse kahega.

Näited

1) Koolis kirjutas kehalise kasvatuse õpetaja õpilaste rühma pikkuse üles. Arvestades, et mõõdetud väärtused olid: 1,54 m; 1,67m, 1,50m; 1,65 m; 1,75m; 1,69m; 1,60 m; 1,55 m ja 1,78 m, kui suur on õpilaste keskmine pikkus?

Lahendus

Kõigepealt peame väärtused korda tegema. Sel juhul paneme selle kasvavas järjekorras. Seega on andmekogum järgmine:

1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78

Kuna komplekt koosneb 9 elemendist, mis on paaritu arv, on mediaan võrdne 5. elemendiga, see tähendab:

M_d = 1,65 m

2) Arvutage järgmise andmeproovi mediaanväärtus: (32, 27, 15, 44, 15, 32).

Lahendus

Kõigepealt peame andmed korrastama, nii et meil on:

15, 15, 27, 32, 32, 44

Kuna see valim koosneb kuuest elemendist, mis on paarisarv, võrdub mediaan keskelementide keskmisega, see tähendab:

Lisateabe saamiseks lugege ka järgmist:

• Statistika
• Dispersioonimeetmed
• Dispersioon ja standardhälve

Lahendatud harjutused

1. (BB 2013 - Carlos Chagase fond). Nädala esimese nelja tööpäeva jooksul teenindas pangakontori juhataja 19, 15, 17 ja 21 klienti. Selle nädala viiendal tööpäeval külastas see juht n klienti.

Kui selle juhi teenindatud klientide keskmine arv selle nädala viie tööpäeva jooksul oli 19, siis mediaan oli

a) 21.
b) 19.
c) 18.
d) 20.
e) 23.

Vt vastus

Kuigi me juba teame keskmist, peame kõigepealt teadma viiendal tööpäeval teenindatud klientide arvu. Seega:

Mediaani leidmiseks peame panema väärtused kasvavas järjekorras, nii et meil on: 15, 17, 19, 21, 23. Seetõttu on mediaan 19.

Alternatiiv: b) 19.

2. (ENEM 2010 - küsimus 175 - Prova Rosa). Allolevas tabelis on näidatud jalgpallimeeskonna tulemused viimasel meistrivõistlustel.

Vasak veerg näitab löödud väravate arvu ja parem veerg näitab, mitu mängu on meeskond selle arvu väravaid löönud.

Väravad löödud	Mängude arv
0	5
1	3
2	4
3	3
4	2
5	2
7	1

Kui X, Y ja Z on vastavalt selle jaotuse keskmine, mediaan ja moodus, siis

a) X = Y b) Z c) Y d) Z d) Z

Vt vastus

Peame arvutama keskmise, mediaani ja režiimi. Keskmise arvutamiseks peame lisama väravate koguarvu ja jagama vastete arvuga.

Väravate koguarv leitakse, korrutades löödud väravate arv matšide arvuga, st:

Eesmärgid kokku = 0,5 + 1,3 + 2,4 + 3,3 + 4,2 + 5,2 + 7,1 = 45

Kui matšide koguarv on 20, võrdub väravate keskmine järgmisega:

Moeväärtuse leidmiseks kontrollime kõige sagedamini väravate arvu. Sel juhul märgime, et 5 kohtumises väravaid ei löödud.

Pärast seda tulemust olid kõige sagedamini matšid, millel oli 2 väravat (kokku 4 kohtumist). Seetõttu

Z = M_O = 0

Mediaan leitakse väravate numbrite järjekorda seadmisega. Kuna mängude arv oli võrdne 20-ga, mis on ühtlane väärtus, peame arvutama kahe keskväärtuse keskmise, nii et meil on:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7

Nende tulemustega teame, et:

X (keskmine) = 2,25
Y (mediaan) = 2
Z (režiim) = 0

See tähendab, et Z

Alternatiiv: e) Z

Vaadake ka:

• Graafika tüübid
• Standardhälve
• Statistika - harjutused
• Matemaatika vaenlas