Kõik 2. astme võrrandi kohta

THE teise astme võrrand saab oma nime, kuna see on polünoomvõrrand, mille kõrgeima astme termin on ruut. Seda nimetatakse ka ruutvõrrandiks, ja seda esindab:

kirves² + bx + c = 0

2. astme võrrandis x on tundmatu ja tähistab tundmatut väärtust. juba laulusõnad The, B ja ç nimetatakse võrrandikoefitsientideks.

Koefitsiendid on reaalarvud ja koefitsiendid The see peab olema nullist erinev, vastasel juhul saab sellest 1. astme võrrand.

Teise astme võrrandi lahendamine tähendab tegelike väärtuste otsimist x, mis muudavad võrrandi õigeks. Neid väärtusi nimetatakse võrrandi juurteks.

Ruutvõrrandil on maksimaalselt kaks tegelikku juurt.

Täielikud ja mittetäielikud keskkoolivõrrandid

2. astme võrrandid täielik on need, millel on kõik koefitsiendid, see tähendab, et a, b ja c erinevad nullist (a, b, c ≠ 0).

Näiteks 5x võrrand² + 2x + 2 = 0 on täielik, kuna kõik koefitsiendid on nullist erinevad (a = 5, b = 2 ja c = 2).

Ruutvõrrand on puudulik kui b = 0 või c = 0 või b = c = 0. Näiteks 2x võrrand² = 0 on puudulik, kuna a = 2, b = 0 ja c = 0

Lahendatud harjutused

1) Määrake väärtused x mis muudavad võrrandi 4x² - 16 = 0 tõene.

Lahendus:

Antud võrrand on mittetäielik 2. astme võrrand, kus b = 0. Seda tüüpi võrrandite puhul saame lahendada, eraldades x. Seega:

Pange tähele, et 4 ruutjuur võib olla 2 ja - 2, kuna nende kahe ruuduarvu tulemuseks on 4.

Nii et 4x võrrandi juured² - 16 = 0 on x = - 2 ja x = 2

2) Leidke x väärtus nii, et allpool oleva ristküliku pindala oleks võrdne 2-ga.

Lahendus:

Ristküliku pindala leitakse, korrutades aluse kõrgusega. Seega peame antud väärtused korrutama ja võrduma 2-ga.

(x - 2). (x - 1) = 2

Korrutame nüüd kõik mõisted:

x. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
x² - 1x - 2x + 2 = 2
x² - 3x + 2 - 2 = 0
x² - 3x = 0

Pärast korrutiste ja lihtsustuste lahendamist leiame mittetäieliku ruutvõrrandi, kus c = 0.

Seda tüüpi võrrandit saab lahendada faktoriseerimine, sest x korratakse mõlemas mõistes. Nii et me paneme selle tõenditesse.

x. (x - 3) = 0

Kui korrutis on võrdne nulliga, siis kas x = 0 või (x - 3) = 0. Küll aga asendades x nulliga on külgmised mõõtmised negatiivsed, nii et see väärtus ei ole küsimusele vastus.

Nii et meil on ainus võimalik tulemus (x - 3) = 0. Selle võrrandi lahendamine:

x - 3 = 0
x = 3

Sel viisil on väärtus x nii et ristküliku pindala on võrdne 2 on x = 3.

Bhaskara valem

Kui ruutvõrrand on täielik, kasutame Bhaskara valem võrrandi juurte leidmiseks.

Valem on esitatud allpool:

Delta valem

Bhaskara valemis ilmub kreekakeelne täht Δ (delta), mida nimetatakse võrrandi diskrimineerivaks, kuna selle väärtuse järgi on võimalik teada võrrandil olevate juurte arvu.

Delta arvutamiseks kasutame järgmist valemit:

Samm sammu haaval

Bhaskara valemi abil 2. astme võrrandi lahendamiseks peame järgima neid samme:

1. samm: Määrake koefitsiendid The, B ja ç.

Võrrandi mõisted ei ilmu alati samas järjekorras, seetõttu on oluline teada, kuidas koefitsiente tuvastada, olenemata nende järjestusest.

koefitsient The on number, mis läheb x-iga², O B on numbriga, mis kaasneb x see on ç on sõltumatu termin, see tähendab number, mis ilmub ilma x-ta.

2. samm: Arvutage delta.

Juurte arvutamiseks on vaja teada delta väärtust. Selleks asendame valemi tähed koefitsiendi väärtustega.

Deltaväärtuse põhjal võime eelnevalt teada saada 2. astme võrrandi juurte arvu. See tähendab, et kui Δ väärtus on suurem kui null (Δ > 0), on võrrandil kaks tegelikku ja erinevat juurt.

Kui vastupidi, delta on väiksem kui null (Δ), siis pole võrrandil tegelikke juuri ja kui see on võrdne nulliga (Δ = 0), on võrrandil ainult üks juur.

3. samm: Arvutage juured.

Kui delta jaoks leitud väärtus on negatiivne, ei pea te rohkem arvutusi tegema ja vastus on, et võrrandil pole tegelikke juuri.

Kui delta väärtus on nulliga võrdne või sellest suurem, peame kõik tähed Bhaskara valemis asendama nende väärtustega ja arvutama juured.

Harjutus lahendatud

Määrake 2x võrrandi juured² - 3x - 5 = 0

Lahendus:

Selle lahendamiseks peame kõigepealt tuvastama koefitsiendid, nii et meil on:
a = 2
b = - 3
c = - 5

Nüüd leiame delta väärtuse. Peame olema märkide reeglitega ettevaatlik ja pidama meeles, et kõigepealt peame lahendama potentseerimise ja korrutamise ning seejärel liitmise ja lahutamise.

Δ = (- 3)² - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49

Kuna leitud väärtus on positiivne, leiame juurte jaoks kaks erinevat väärtust. Niisiis, peame Bhaskara valemi kaks korda lahendama. Nii et meil on:

Nii et 2x võrrandi juured² - 3x - 5 = 0 on x = 5/2 ja x = - 1.

2. astme võrrandisüsteem

Kui soovime leida kahe erineva tundmatu väärtused, mis rahuldavad samaaegselt kahte võrrandit, on meil a võrrandisüsteem.

Süsteemi moodustavad võrrandid võivad olla 1. ja 2. astme. Sellise süsteemi lahendamiseks võime kasutada asendusmeetodit ja liitmismeetodit.

Harjutus lahendatud

Lahendage süsteem allpool:

Lahendus:

Süsteemi lahendamiseks saame kasutada liitmismeetodit. Selles meetodis lisame 1. võrrandist sarnased terminid 2. võrrandi omadega. Niisiis, taandame süsteemi ühele võrrandile.

Kõiki võrrandi mõisteid saame ikkagi lihtsustada 3 võrra ja tulemuseks on võrrand x² - 2x - 3 = 0. Võrrandi lahendamisel on meil:

Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16

Pärast x-väärtuste leidmist ei tohi unustada, et peame ikkagi leidma y-väärtused, mis muudavad süsteemi tõeks.

Selleks asendage lihtsalt ühes võrrandis x-le leitud väärtused.

y₁ - 6. 3 = 4
y₁ = 4 + 18
y₁ = 22

y₂ - 6. (-1) = 4
y₂ + 6 = 4
y₂ = - 2

Seetõttu on kavandatavale süsteemile vastavad väärtused (3, 22) ja (-1, - 2)

Samuti võite olla huvitatud Esimese astme võrrand.

Harjutused

küsimus 1

Lahendage täielik ruutvõrrand, kasutades Bhaskara valemit:

2x² + 7x + 5 = 0

Vt vastus

Kõigepealt on oluline võrrandis jälgida iga koefitsienti, seetõttu:

a = 2
b = 7
c = 5

Võrrandi diskranti valemi kaudu peame leidma Δ väärtuse.

Seda selleks, et hiljem võrrandi juured leida üldvalemi või Bhaskara valemi kaudu:

Δ = 7² – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9

Pange tähele, et kui Δ väärtus on suurem kui null (Δ > 0), on võrrandil kaks tegelikku ja erinevat juurt.

Niisiis, pärast Δ leidmist asendame selle Bhaskara valemis:

Seetõttu on kahe tegeliku juure väärtused järgmised: x₁ = - 1 ja x₂ = - 5/2

Vaadake rohkem küsimusi aadressil Keskkooli võrrand - harjutused

2. küsimus

Lahendage mittetäielikud teise astme võrrandid:

a) 5x² - x = 0

Vt vastus

Kõigepealt otsime võrrandi koefitsiente:

a = 5
b = - 1
c = 0

See on mittetäielik võrrand, kus c = 0.

Selle arvutamiseks võime kasutada faktoriseerimist, mis antud juhul on tõendiks x.

5x² - x = 0
x. (5x-1) = 0
Selles olukorras on korrutis võrdne nulliga, kui x = 0 või kui 5x -1 = 0. Nii arvutame x väärtuse:

Nii et võrrandi juured on x₁ = 0 ja x₂ = 1/5.

b) 2x² – 2 = 0

Vt vastus

a = 2
b = 0
c = - 2

See on mittetäielik teise astme võrrand, kus b = 0, selle saab arvutada, eraldades x:

x₁ = 1 ja x₂ = - 1

Nii et võrrandi kaks juurt on x₁ = 1 ja x₂ = - 1

c) 5x² = 0

Vt vastus

a = 5
b = 0
c = 0

Sel juhul esitab mittetäielik võrrand koefitsiendid b ja c nulliga (b = c = 0):

Seetõttu on selle võrrandi juurtel väärtused x₁ = x₂ = 0

Lisateabe saamiseks lugege ka järgmist:

• Ruutfunktsioon
• Summa ja toode
• ebavõrdsus
• irratsionaalsed võrrandid
• Parabooli tipu