Uuring umbes numbrilised komplektid moodustab matemaatika ühe peamise valdkonna, kuna need on piirkonna teoreetilise arengu jaoks väga olulised ja neil on mitmeid praktilisi rakendusi. Numbrikomplektid hõlmavad õppimisel:
- looduslikud arvud;
- täisarvud;
- ratsionaalsed arvud;
- irratsionaalsed arvud;
- reaalarvud; ja
- kompleksarvud.
Loe rohkem: Peaarvud - arvud, millel on jagajatena ainult 1
Naturaalsete arvude komplekt
Esimeste tsivilisatsioonide areng tõi endaga kaasa põllumajanduse ja kaubanduse paranemise ning sellest tulenevalt ka numbrite kasutamine suuruste tähistamiseks. Esimene komplekt tuli iseenesest, sellest ka nimi. Looduslikku nimega komplekti kasutatakse suuruste tähistamiseks, seda tähistatakse tähisega sümbol ℕ ja on kirjutatud jada kujul. Vaata:
O numbrite komplekt naturaon é lõpmatu ja suletud operatsioonide jaoks lisamine ja korrutamine, st alati, kui lisame või korrutame kaks loomulikku arvu, on vastus ikkagi loomulik. Kuid lahutamistoiminguks ja jaotus, komplekt pole suletud. Vaata:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
Pange tähele, et numbrid –1 ja 0,5 nad ei kuulu naturaalide hulka ja see on uute numbrikogumite loomise ja uurimise põhjendus.
Ärge lõpetage kohe... Peale reklaami on veel;)
Tärn (*) loodusliku hulga sümbolisse asetades peame loendist eemaldama ka numbri null, vt:
seatud täisarvud
Kogu komplekti arv tuli välja operatsiooni läbiviimise vajadus lahutamine piiranguteta. Nagu nägime, kui väiksem arv suuremast lahutatakse, ei kuulu vastus looduslaste rühma.
Täisarvude kogumit esindab ka lõpmatu numbriline järjestus ja tähistatakse tähisega sümbol ℤ.
Nagu looduslike arvude komplektis, eemaldatakse tärn sümbolisse ℤ, element null nullist:
Numbriga kaasas olev sümbol (-) näitab, et see on sümmeetriline, seega on numbri 4 sümmeetriline number –4. Pange tähele ka seda, et looduslike arvude hulk sisaldub täisarvude kogumis, see tähendab, et looduslike arvude hulk on täisarvude hulga alamhulk.
ℕ ⸦ ℤ
Loe ka: Tehingud täisarvudega - mis need on ja kuidas arvutada?
ratsionaalsete arvude komplekt
O ratsionaalsete arvude komplekt é tähistab sümbol ℚ ja seda ei tähista numbriline järjestus. See komplekt koosneb kõigist numbritest, mida saab esitada murdosana. Esitame selle elemente järgmiselt:
Me teame, et iga täisarvu saab tähistada a-ga murdosa, see tähendab, et täisarvude hulk sisaldub ratsionaalsete arvude koosseisus, seega täisarvude hulk on ratsionaalsuste alamhulk.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
Numbrid, millel on lõpmatu esindatus, näiteks perioodiline kümnis, on esindatud ka murdosa kujul, seega on nad ka ratsionaalsed.
Loe ka: Operatsioonid murdudega - samm-sammult, kuidas neid lahendada
Iratsionaalsete arvude komplekt
Nagu nägime, on arv ratsionaalne, kui seda saab kirjutada murdosana. Samuti on öeldud, et lõpmatud ja perioodilised arvud on ratsionaalsed, kuid on ka mõningaid numbreid ei saa kirjutada murdarvuna ja mis seetõttu ei kuulu ratsionaalsete arvude hulka.
Neid mittemõistuslikke numbreid kutsutakse irratsionaalne ja millel on peamisteks omadusteks kümnendkoha lõpmatus ja mittesagedus, see tähendab, et ühtegi numbrit kümnendkohas ei korrata. Vaadake mõnda näidet irratsionaalsed arvud.
- Näide 1
Arvude ruutjuured, mis pole täiuslikud ruudud.
- Näide 2
Konstandid, mis pärinevad erilistest põhjustest nagu kullanumber, Euleri number või Pi.
Reaalarvude komplekt
O reaalarvude komplekt on tähistatud sümboliga ℝ ja on moodustatud tähisega ühtsusratsionaalsete arvude hulga koos irratsionaalsete arvude komplektiga. Pidage meeles, et ratsionaalsuste kogum on looduslike ja täisarvude komplekt.
Kui paigutame reaalarvud reaalarvudesse, on meil null, et rea alguspunkt on nullist paremal positiivsed arvud ja vasakul negatiivsed arvud.
Kuna see telg on reaalne, võime öelda, et kahe numbri vahel on lõpmatu arv ja ka see, et see telg on lõpmatu nii positiivne suund kui sisse negatiivne suund.
Kompleksarvude komplekt
O kompleksarvude komplekt see on viimane ja see tekkis samal põhjusel kui täisarvude hulk, see tähendab, et see on operatsioon, mille arendamine pole võimalik ainult reaalide hulga korral.
Järgmise võrrandi lahendamisel vaadake, et sellel pole lahendust, teades ainult tegelikke arve.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
Pange tähele, et peame leidma numbri, millal tõstadO ruudus, tulemuseks on negatiivne arv. Me teame seda suvaline arv ruudus on alati positiivne, seega pole sellel arvutusel tegelikku lahendust.
Nii loodi kompleksarvud, milles meil on a kujuteldav arv tähistatud i, millel on järgmine väärtus:
Niisiis, mõistke, et võrrand mis enne polnud lahendust, on tal seda. Kontrollige:
Loe rohkem: Kompleksarvudega seotud omadused
tegelikud intervallid
Mõnel juhul ei kasuta me kõiki tegelikke telgi, see tähendab, et kasutame selle osi, mida nimetatakse vaheajad. Need intervallid on reaalarvude hulga alamhulgad. Järgmisena loome nende alamhulkade jaoks mõned tähised.
Suletud vahemik - ilma äärmusi lisamata
Intervall on suletud, kui see on on kaks äärmust, see tähendab miinimum ja maksimum ning antud juhul ka äärmused ei kuulu vahemikku. Tähistame seda lahtise palli abil. Vaata:
Punases on numbrid, mis kuuluvad sellesse vahemikku, see tähendab, et need on numbrid suurem kui a ja väiksem kui b. Algebraliselt kirjutame sellise intervalli järgmiselt:
< x
Kus arv x on kõik selles vahemikus olevad tegelikud arvud. Saame seda ka sümboolselt esindada. Vaata:
]; B [ või ( B)
Suletud vahemik - sealhulgas äärmused
Nüüd kasutame selle tähistamiseks kinniseid palle äärmused kuuluvad vahemikku.
Nii et kogume reaalarvusid, mis jäävad a ja b vahele, kaasa arvatud need. Algebraliselt väljendame sellist intervalli järgmiselt:
≤ xb
Sümboolset tähistust kasutades on meil:
[The; B]
Suletud vahemik - sealhulgas üks äärmustest
Ikka suletud intervallidega tegeledes on meil nüüd juhtum lisatud on ainult üks äärmustest. Seetõttu sulgub üks marmor, mis näitab, et number kuulub vahemikku, ja teine mitte, mis näitab, et number ei kuulu sellesse vahemikku.
Algebraliselt esindame seda vahemikku järgmiselt:
≤ x
Sümboolselt on meil:
[The; B [ või [The; B)
Avatud vahemik - ots ei kuulu komplekti
Vahemik avatakse, kui ei sisalda maksimaalset ega minimaalset elementi. Nüüd näeme avatud vahemiku juhtumit, millel on ainult maksimaalne element, mis ei kuulu vahemikku.
Vaadake, et vahemik koosneb reaalarvud allaB, ja märkige ka seda arv b, mis ei kuulu vahemikku (avatud pall), seega saame algebraliselt intervalli esitada järgmiselt:
x
Sümboolselt võime seda esindada:
] – ∞; B [ või (– ∞; B)
Avatud vahemik - sealhulgas äärmuslik
Teine avatud vahemiku näide on juhtum, kus kaasatakse ka äärmus. Siin on vahemik, milles minimaalne element ilmub, vt:
Pange tähele, et kõik reaalarvud on suuremad või võrdsed arvuga a, nii et saame selle vahemiku kirjutada algebraliselt järgmiselt:
xkuni
Sümboolselt on meil:
[The; +∞[ või [The; +∞)
avatud vahemik
Teine avatud vahemiku juhtum moodustub numbrid, mis on suuremad ja väiksemad kui reaaljoonel fikseeritud numbrid. Vaata:
Pange tähele, et sellesse vahemikku kuuluvad reaalarvud on väiksemad kui numbriga a või sellega võrdsed või arvust b suuremad, seega peame:
x kuni võix > b
Sümboolselt on meil:
] – ∞; a] U] b; + ∞[
või
(– ∞; a] U (b; + ∞)
autor Robson Luiz
Matemaatikaõpetaja
