O principio fundamental de contar es el concepto principal que se enseña en el análisis combinatorio. Es a partir de esto que se desarrollaron los demás conceptos de esta área y las fórmulas factorial, combinación, ordenamiento, permutación. Comprender este principio es esencial para comprender situaciones relacionadas con el conteo.
Este principio establece que si necesito tomar más de una decisión y cada una de ellas se puede tomar en formas x, y, z, para para saber de cuántas maneras se pueden tomar estas decisiones simultáneamente, simplemente calcule el producto de estas posibilidades.
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¿Cuál es el principio fundamental de contar?
El principio fundamental de contar es un técnica para calcular de cuántas formas se pueden combinar las decisiones. Si se puede tomar una decisión desde No formas y se puede tomar otra decisión de metro formas, el número de formas en que estas decisiones se pueden tomar simultáneamente se calcula por el producto de
n · m.Analizar todas las combinaciones posibles sin utilizar el principio fundamental de contar puede resultar bastante laborioso, lo que hace que la fórmula sea muy eficaz.
Ejemplo
En un restaurante se ofrece el famoso plato. Todos los platos tienen arroz y el cliente puede elegir una combinación de 3 opciones de carne. (ternera, pollo y vegetariana), 2 tipos de frijoles (caldo o tropeiro) y 2 tipos de bebida (jugo o soda). ¿De cuántas formas diferentes puede un cliente realizar un pedido?
Tenga en cuenta que hay 12 opciones, pero fue posible alcanzar este número realizando el sencillo multiplicación de las posibilidades a través del principio fundamental de contar, por lo que el número de posibles combinaciones de platos podría calcularse mediante:
2 · 3 · 2 = 12.
Tenga en cuenta que cuando mi interés es conocer solo el total de posibilidades, realizar la multiplicación es mucho más rápido que construir cualquier esquema para analizar, que puede resultar bastante laborioso si hay cada vez más posibilidades.
¿Cuándo usar el principio fundamental de contar?
Hay varias aplicaciones del principio fundamental de contar. Puede aplicarse, por ejemplo, en diversas decisiones de la Informática. Un ejemplo son los contraseñas que requieren el uso de al menos un símbolo, lo que hace que el número de combinaciones posibles sea mucho mayor, lo que hace que el sistema sea más seguro.
Otra aplicación está en el estudio de imparesPara calcularlos, necesitamos saber el número de casos posibles y el número de casos favorables. El recuento de este número de casos posibles y favorables se puede realizar mediante el principio fundamental del recuento. Este principio también genera las fórmulas de permutación, combinación y arreglo.
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ejercicios resueltos
1) (Enem) El director de una escuela invitó a los 280 estudiantes de tercer año a participar en un juego. Suponga que hay 5 objetos y 6 personajes en una casa de 9 habitaciones; uno de los personajes esconde uno de los objetos en una de las habitaciones de la casa. El objetivo del juego es adivinar qué objeto estaba oculto por qué personaje y en qué habitación de la casa estaba oculto el objeto.
Todos los estudiantes decidieron participar. Cada vez que se dibuja un alumno y da su respuesta. Las respuestas deben ser siempre distintas a las anteriores, y no se puede sacar un mismo alumno más de una vez. Si la respuesta del alumno es correcta, se le declara ganador y el juego termina. El director sabe que algún estudiante obtendrá la respuesta correcta porque hay:
a) 10 alumnos más de posibles respuestas diferentes.
b) 20 alumnos más de posibles respuestas diferentes.
c) 119 alumnos más de posibles respuestas diferentes.
d) 260 alumnos más de posibles respuestas diferentes.
e) 270 alumnos más de posibles respuestas diferentes.
Resolución
Por el principio fundamental de contar, el número de posibles respuestas será igual al producto de las cantidades de personajes, objetos y habitaciones.
5 · 6 · 9 = 270.
Como el número de estudiantes es 280, la diferencia entre el número de estudiantes y el número de posibilidades es 10.
Respuesta: alternativa A.
2) (Enem) Se estima que existen, en Acre, 209 especies de mamíferos, distribuidas según la tabla siguiente.
Queremos realizar un estudio comparativo entre tres especies de mamíferos, una del grupo de los cetáceos, otra del grupo de los primates y la tercera del grupo de los roedores. El número de conjuntos distintos que se pueden formar con estas especies para este estudio es igual a:
a) 1320
b) 2090
c) 5840
d) 6600
e) 7245.
Resolución:
Sabemos que hay 2 cetáceos, 20 primates y 33 roedores. Entonces, por el principio fundamental de contar, el número de posibles conjuntos distintos será:
2 ·20 ·33 = 1320
Respuesta: alternativa A.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatorial-principio-fundamental-da-contagem.htm