Todos los números existentes fueron creados de acuerdo con las necesidades humanas en el momento de la creación, como es el caso de los números naturales, que fueron creados para contar y controlar "stocks", y números irracionales, que se establecieron para resolver problemas en relación con raíces. Fueron precisamente los problemas de raíces los que iniciaron el conocimiento sobre la números complejos.
La ecuación cuadrática x2 + 4x + 5 = 0 no tiene raíces reales. Esto significa que, dentro del conjunto de números reales, es imposible encontrar valores para x que igualen el primer término de esta ecuación al segundo. Observamos este fenómeno desde el comienzo de la fórmula de Bhaskara:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Una vez que se encuentra un valor negativo para Δ, se vuelve imposible continuar con la fórmula de Bhaskara, ya que requiere que se calcule √Δ (raíz del delta). Ahora, sabemos que √– 4 no se puede calcular porque no hay un número real que, multiplicado por sí mismo, resulte en - 4.
Se crearon números complejos para satisfacer estas necesidades. Desde su creación, el √– 4 se puede desarrollar de la siguiente manera:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
Un √ (- 1) se entiende como un nuevo tipo de número. El conjunto de todos estos números se conoce como el conjunto de números complejos, y cada representante de este nuevo conjunto se define de la siguiente manera: Sea A un número complejo, entonces,
A = La + Bdonde yo Lay B son números reales e i = √ (- 1)
En esta definición, La Es conocido como parte real de A y B Es conocido como parte imaginaria de A.
Propiedades de los números complejos
Los números reales representan, en su totalidad y geométricamente, una línea. Los números complejos, a su vez, representan un plano completo. El plano cartesiano utilizado para representar los números complejos se conoce como plano de Argand-Gauss.
Cada número complejo se puede representar en el plano de Argand-Gauss como un punto de coordenadas (a, b). La distancia desde el punto que representa un número complejo hasta el punto (0,0) se denomina módulo del número complejo., que se define:
Sea A = a + bi un número complejo, su módulo es | A | = a2 + b2
Los números complejos también tienen un elemento inverso, llamado conjugado. Se define como:
Sea A = a + bi un número complejo,
Ā = a - bi es el conjugado de este número.
Propiedad 1: El producto de un número complejo y su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de la parte real y la parte imaginaria del número complejo. Matemáticamente:
AĀ = a2 + b2
Ejemplo: ¿Cuál es el producto de A = 2 + 5i por su conjugado?
Solo haz el cálculo: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Si elegimos escribir el conjugado de A y, a continuación, realizar la multiplicación AĀ, tendríamos:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
Es decir, utilizando la propiedad propuesta, es posible evitar un cálculo largo así como errores durante estos cálculos.
Propiedad 2: Si un número complejo A es igual a su conjugado, entonces A es un número real.
Sea A = a + bi. Si A = Ā, entonces:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Por lo tanto, b = 0
Por lo tanto, es obligatorio que todo número complejo igual a su conjugado sea también un número real.
Propiedad 3: El conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de los conjugados de estos números., esto es:
_____ _ _
A + B = A + B
Ejemplo: ¿Cuál es el conjugado de la suma de 7 + 9i y 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Puede agregar primero y luego calcular el conjugado del resultado, o hacer los conjugados primero y luego agregar los resultados más tarde.
Propiedad 4: El conjugado del producto entre dos números complejos es igual al producto de sus conjugados, o sea:
__ _ _
AB = A · B
Ejemplo: ¿Cuál es el producto de los conjugados de A = 7i + 10 y B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Dependiendo de la necesidad del ejercicio, es posible multiplicar primero y calcular el conjugado después, o mostrar los conjugados antes de realizar la multiplicación.
Propiedad 5: El producto de un número complejo A y su conjugado es igual al cuadrado del módulo de A, o sea:
AĀ = | A |2
Ejemplo: A = 2 + 6i, luego AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Tenga en cuenta que no es necesario encontrar el conjugado y realizar una multiplicación a través de la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma (conocida como pequeño cabezal de ducha).
Propiedad 6: El módulo de un número complejo es igual al módulo de su conjugado. En otras palabras:
| A | = | Ā |
Ejemplo: Encuentre el módulo del conjugado del número complejo A = 3 + 4i.
Tenga en cuenta que no es necesario encontrar el conjugado, ya que los módulos son los mismos.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Si se calculara | Ā |, el único cambio sería un B cuadrado negativo, que tiene un resultado positivo. Por lo tanto, el resultado seguirá siendo la raíz de 25.
Propiedad 7: Si A y B son números complejos, entonces el módulo producto de A y B es igual al módulo del producto de A y B., o sea:
| AB | = | A || B |
Ejemplo: Sea A = 6 + 8i y B = 4 + 3i, ¿cuánto es | AB |?
Tenga en cuenta que no es necesario multiplicar números complejos antes de calcular el módulo. Es posible calcular el módulo de cada número complejo por separado y luego simplemente multiplicar los resultados.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50
Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
