Para entender el suma de dos cubos, Es importante entender que usamos el producto de dos polinomios para facilitar las operaciones y simplificaciones. en el trabajo con polinomios, se hace necesario saber factorizarlos, y encontrar factorización es buscar una forma de representar el polinomio como el producto de dos o más polinomios. Saber aplicar la factorización de este polinomio es fundamental para simplificar situaciones problemáticas que involucran la suma de dos cubos. Existe una fórmula que se utiliza para realizar esta factorización.
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¿Cómo se factoriza la suma de dos cubos?
LA factorizar un polinomio es bastante común en Matemáticas y su propósito es expresar este polinomio como el producto de dos o más polinomios. A partir de esta representación, es posible realizar simplificaciones y resolver situaciones que involucran, en este caso, la suma de dos cubos. Para realizar la factorización es necesario conocer la fórmula de la suma de dos cubos.
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Fórmula de la suma de dos cubos
Considerar La como primer término y B como el segundo término y pueden ser cualquier Número Real, entonces tenemos que:
a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Analizando el segundo miembro de la ecuación, mostraremos que aplicando la propiedad distributiva, podemos encontrar el primer miembro.
(a + b) (a² - ab + b²) = a³ - a²b+ ab²+ a²b–ab² + b³
Tenga en cuenta que los términos en rojo y los términos en azul son respectivamente opuestos, por lo que su suma es igual a cero, dejando:
(a + b) (a² - ab + b²) = a³ + b³
Para realizar la factorización del cubo de diferencias, apliquemos la fórmula y encontremos los términos ayb, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:
Resuelve x³ + 27.
Reescribiendo la ecuación, sabemos que 27 = 3³, así que representémoslo por: x³ + 3³ → suma de dos cubos, donde x es el primer término y 3 es el segundo término.
Al realizar la factorización mediante la fórmula, tenemos que:
x³ + 3³ = (x + 3) (x² - x · 3 + 3²)
x³ + 3³ = (x + 3) (x² - 3x +9)
Por lo tanto, la factorización de x³ + 27 es igual a (x + 3) (x² - 3x +9).
Ejemplo 2:
Resuelve 8x³ + 125.
Reescribiendo la ecuación, sabemos que 8x³ = (2x) ³ y 125 = 5³, así que representemos por: (2x) ³ + 5³ → suma de dos cubos, donde 2x es el primer término y 5 es el segundo término.
Al realizar la factorización mediante la fórmula, tenemos que:
(2x) ³ + 5³ = (2x +5) ((2x) ² - 2x · 5 + 5²)
(2x) ³ + 5³ = (2x + 5) (4x² - 10x +25)
Por lo tanto, la factorización de 8x³ + 125 es igual a (2x + 5) (4x² - 10x +25).
Vea también: ¿Cómo sumar y restar fracciones algebraicas?
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Sabiendo que a³ + b³ = 1944 y que a + b = 1 y ab = 72, ¿el valor de a² + b² es?
A) 160
B) 180
C) 200
D) 240
E) 250
Resolución
Alternativa B.
Factoricemos a³ + b³.
a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Ahora usaremos los datos de la pregunta reemplazando a + b, ab y a³ + b³:
Pregunta 2 - La simplificación de la expresión es:
A 1
B) x + 1
C) -3xy
D) x² + y²
E) 5
Resolución
Alternativa A.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
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OLIVEIRA, Raúl Rodrigues de. "Suma de dos cubos"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dois-cubos.htm. Consultado el 28 de junio de 2021.
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