Consideramos un sistema de ecuaciones cuando vamos a resolver problemas que involucran cantidades numéricas y que, generalmente, recurrimos al uso de ecuaciones para representar tales situaciones. En la mayoría de los problemas reales, deberíamos considerar más de una ecuación simultáneamente, que por tanto depende del diseño de los sistemas.
Problemas como la configuración del tráfico se pueden resolver utilizando sistemas lineales. debemos entender los elementos de un sistema lineal, qué métodos usar y cómo determinar su solución.
Ecuaciones
Nuestro estudio girará en torno a sistemas de ecuaciones lineales, así que primero entendamos qué es ecuación lineal.
Una ecuación se llamará lineal cuando se pueda escribir de esta manera:
La1 ·X1 + el2 ·X2 + el3 ·X3 +... + aNo ·XNo = k
En el que la1, La2, La3,..., LaNo) ellos son las coeficientes de la ecuación, (x1, X2, X3,..., XNo) son los incógnitos y debe ser lineal y k es el términoindependiente.
Ejemplos de
- -2x + 1 = -8 ® Ecuación lineal con una incógnita
- 5p + 2r = 5 ® Ecuación lineal con dos incógnitas
- 9x - y - z = 0 ® Ecuación lineal con tres incógnitas
- 8ab + c - d = -9 ® Ecuación no lineal
Sepa mas: Diferencias entre función y ecuación
¿Cómo calcular un sistema de ecuaciones?
La solución de un sistema lineal es todo conjunto ordenado y finito que satisface todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo.. El número de elementos del conjunto de soluciones siempre es igual al número de incógnitas del sistema.
Ejemplo
Considere el sistema:
El par ordenado (6; -2) satisface ambas ecuaciones, por lo que es la solución del sistema. El conjunto formado por las soluciones del sistema se denomina Conjunto de soluciones. Del ejemplo anterior, tenemos:
S = {(6; -2)}
La forma de escribir con llaves y paréntesis indica un conjunto de soluciones (siempre entre llaves) formado por un par ordenado (siempre entre paréntesis).
Observación: Si dos o más sistemas tienen el misma solución de conjunto, estos sistemas se llaman sistemas equivalentes.
Método de reemplazo
El método de reemplazo consiste en seguir tres pasos. Para esto, considere el sistema
Paso 1
El primer paso es elige una de las ecuaciones (el más fácil) y aislar una de las incógnitas (el más fácil). Así,
x - 2y = -7
x = -7 + 2y
Paso 2
En el segundo paso, solo reemplazar, en la ecuación no elegida, lo desconocido aislado en el primer paso. Pronto,
3x + 2y = -7
3 (-7 + 2y) + 2y = - 5
-21 + 6y + 2y = -5
8y = -5 +21
8 años = 16
y = 2
Paso 3
El tercer paso, consiste en reemplazar valor encontrado en el segundo paso en cualquiera de las ecuaciones. Así,
x = -7 + 2y
x = -7 + 2 (2)
x = -7 +4
x = -3
Por lo tanto, la solución del sistema es S {(-3, 2)}.
método de adición
Para realizar el método de la suma, debemos recordar que el los coeficientes de una de las incógnitas deben ser opuestos, es decir, tener números iguales con signos opuestos. Consideremos el mismo sistema de método de sustitución.
Ver que los coeficientes desconocidos y cumple nuestra condición, por lo que basta con sumar cada una de las columnas del sistema, obteniendo la ecuación:
4x + 0y = -12
4x = -12
x = -3
Y sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones tenemos:
x - 2y = -7
-3 - 2y = -7
-2y = -7 + 3
(-1) (-2y) = -4 (-1)
2 años = 4
y = 2
Por tanto, la solución del sistema es S {(-3, 2)}
Lea también: Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones
Clasificación de sistemas lineales
Podemos clasificar un sistema lineal por el número de soluciones. Un sistema lineal se puede clasificar en posible y determinado, posible yindeterminado y imposible.
→ El sistema es posible y determinado (SPD): solución única
→ Sistema posible e indeterminado (SPI): más de una solución
→ Sistema imposible: sin solución
Ver el esquema:
Ejercicio resuelto
Pregunta 1 - (Vunesp) Un portaminas, tres cuadernos y un bolígrafo cuestan 33 reales juntos. Dos portaminas, siete cuadernos y dos bolígrafos cuestan 76 reales juntos. El costo de un portaminas, un cuaderno y un bolígrafo, juntos, en reales es:
a) 11
b) 12
c) 13
d) 17
e) 38
Solución
Asignemos lo desconocido X al precio de cada portaminas, y al precio de cada portátil y z al precio de cada bolígrafo. De la declaración, tenemos que:
Multiplicando la ecuación superior por -2 tenemos que:
Sumando término a término, tendremos que:
y = 10
Reemplazando el valor de y encontrado en la primera ecuación, tendremos que:
x + 3y + z = 33
x + 30 + z = 33
x + z = 3
Por tanto, el precio de un lápiz, un cuaderno y un bolígrafo es:
x + y + z = 13 reales.
Alternativa C
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-duas-equacoes.htm