Ángulo entre dos vectores

Vectores son objetos matemáticos encargados de describir la trayectoria de los puntos. Muchas veces, estos puntos representan objetos concretos en movimiento, que es estudiado en detalle por la Física. Al considerar las fuerzas involucradas en el movimiento (de hecho o potencial) de un objeto, la Física hace uso de vectores para representarlos. El ángulo que forman estos vectores es una parte crucial de los cálculos, ya que una pequeña variación en el ángulo puede requerir que se aplique más fuerza a un objeto para que se inicie o permanezca en movimiento.

Los vectores están representados geométricamente por flechas, que son líneas rectas orientadas. Por lo tanto, un extremo del segmento indica la posición final del punto movido y el otro extremo no está marcado, lo que indica que el movimiento comenzó allí. El punto de ubicación del punto final se usa generalmente para identificar un vector que comienza en el origen de un sistema de coordenadas. Considerando el plano cartesiano como el sistema de coordenadas, un vector v, que comienza en el punto (0,0) y termina en el punto (a, b), se representa solo como

vector v = (a, b). Si el vector comienza en otro punto, simplemente muévalo a la ubicación adecuada.

Vector en el plano cartesiano

Dado que se trata de líneas rectas orientadas, es posible calcular su longitud, que se denomina norma de vector. El cálculo de la norma de un vector se da de la misma forma que el distancia entre dos puntos y es equivalente a calcular el módulo de un número real. De esta forma, la norma del vector v = (a, b) se denota por | v | y se puede calcular de la siguiente manera:

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Considerando dos vectores v = (a, b) yu = (a ', b'), el Producto doméstico entre ellos se denota por y viene dada por la siguiente expresión:

= a · a '+ b · b'

El producto escalar entre dos vectores también se define a través del ángulo entre ellos. Esta definición permite calcular el ángulo entre dos vectores.

Ángulo entre dos vectores

Así, tomando los mismos vectores v y u, el coseno del ángulo θ entre ellos viene dado por la siguiente expresión:

cosθ =
| v | · | u |

Con estos datos, definiciones y, en cierto modo, fórmulas, es posible idear una estrategia para calcular el ángulo entre dos vectores.

Dados los vectores v = (2,2) yu = (0,2), calcularemos el ángulo entre ellos. Para hacerlo, primero calcule la norma de cada vector y el producto entre estas normas:

| v | = √ (2² + 2²)
| v | = √ (4 + 4)
| v | = √8

| u | = √ (0² + 2²)
| u | = √ (0 + 4)
| u | = √4

| v | · | u | = √8 · √4
| v | · | u | = 4√2

Luego, calcule el producto interno entre v y u:

= 2·0 + 2·2
= 0 + 4
= 4

Finalmente, use la fórmula del ángulo entre vectores para calcular cosθ y a tabla de valores de coseno para encontrar el valor de θ.

cosθ =
| v | · | u |

cosθ =  4
4√2

cosθ =  4
4√2

cosθ =  2
√2

cosθ = √2
2

θ = 45°

Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas

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SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Ángulo entre dos vectores"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. Consultado el 27 de junio de 2021.