Trabajar con funciones compuestas no tiene grandes secretos, pero requiere mucha atención y cuidado. Cuando nos ocupamos de una composición de tres o más funciones, ya sean de la 1er grado o de 2do grado, mayor debería ser la preocupación. Antes de ver algunos ejemplos, comprendamos la idea central de la composición de roles.
Imagine que tiene la intención de hacer un viaje en avión desde Rio Grande do Sul a Amazonas. Una aerolínea ofrece un billete de vuelo directo y otra opción más económica, con tres escalas aéreas, como se muestra en el siguiente diagrama:
Rio Grande do Sul → São Paulo → Goiás → Amazonas
Cualquiera de las opciones de viaje conducirá al destino previsto, al igual que la función compuesta. Vea la imagen a continuación:
Ejemplo de cómo funciona una composición de tres funciones
¿Qué tal si usamos este esquema para aplicar un ejemplo? Luego considere las siguientes funciones: f (x) = x + 1, g (x) = 2x - 3 y h (x) = x². la composición f o g o h (lee: f compuesto con g compuesto con h
) se puede interpretar más fácilmente cuando se expresa como f (g (h (x))). Para resolver esta composición de funciones, debemos comenzar con la función compuesta más interna o la última composición, por tanto, g (h (x)). En función g (x) = 2x - 3, donde sea que haya X, reemplazaremos con h (x):g (x) = 2x - 3
gramo(h (x)) = 2.h (x) – 3
gramo(h (x)) = 2.(x²) – 3
g (h (x)) = 2.x² - 3
Ahora haremos la última composición. f (g (h (x))). En función f (x) = x + 1, donde sea que haya X, reemplazaremos con g (h (x)) = 2.x² - 3:
f (x) = x + 1
F(g (h (x))) = (2.x² - 3) + 1
F(g (h (x))) = 2.x² - 3 + 1
f (g (h (x))) = 2.x² - 2
Veamos un ejemplo para comprobar que, como sucedió en el caso del vuelo mencionado al principio de este artículo, si elegimos un valor para aplicar en f (g (h (x))), obtendremos el mismo resultado que aplicando por separado en las composiciones. Si x = 1, tenemos que h (1) es igual a:
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h (x) = x²
h (1) = 1²
h (1) = 1
Sabiendo que h (1) = 1, ahora encontremos el valor de g (h (1)):
g (x) = 2x - 3
g (h (1)) = 2.h (1) - 3
g (h (1)) = 2,1 - 3
g (h (1)) = - 1
Finalmente, calculemos el valor de f (g (h (1))), Sabiendo que g (h (1)) = - 1:
f (x) = x + 1
f (g (h (1))) = g (h (1)) + 1
f (g (h (1))) = - 1 + 1
f (g (h (1))) = 0
Encontramos eso f (g (h (1))) = 0. Entonces, veamos si obtenemos el mismo resultado al reemplazar x = 1 en la fórmula para la composición de funciones que encontramos anteriormente: f (g (h (x))) = 2.x² - 2:
f (g (h (x))) = 2.x² - 2
f (g (h (1))) = 2. (1) ² - 2
f (g (h (1))) = 2 - 2
f (g (h (1))) = 0
Así que obtuvimos el mismo resultado que queríamos demostrar. Veamos otro ejemplo más de composición de tres o más funciones:
Sean las funciones: f (x) = x² - 2x, g (x) = - 2 + 3x, h (x) = 5x³ y yo (x) = - x, determinar la ley de la función compuesta f (g (h (i (x)))).
Comenzaremos a resolver esta composición por la función compuesta más interna, h (x)):
yo (x) = - x y h (x) = 5x³
h (x) = 5x³
H (yo (x)) = 5.[yo (x)]³
H (yo (x)) = 5.[- X]³
h (i (x)) = - 5x³
Resolvamos ahora la composición g (h (i (x))):
h (i (x)) = - 5x³ y g (x) = - 2 + 3x
g (x) = - 2 + 3x
gramo(h (x))) = – 2 + 3.[h (x))]
gramo(h (x))) = – 2 + 3.[- 5x³]
g (h (i (x))) = - 2 - 15x³
Ahora podemos determinar la ley de la función compuesta f (g (h (i (x))))):
g (h (i (x))) = - 2 - 15x³ y f (x) = x² - 2x
f (x) = x² - 2x
F(g (h (i (x)))) = [g (h (i (x)))] ² - 2 [g (h (i (x)))]
F(g (h (i (x)))) = [- 2 - 15x³] ² - 2 [- 2 - 15x³]
F(g (h (i (x)))) = 4 - 60x³ + 225x6 + 4 + 30x³
f (g (h (i (x)))) = 225x6 - 30x³ + 8
Por tanto, la ley de la función compuesta f (g (h (i (x))))) é f (g (h (i (x)))) = 225x6 - 30x³ + 8
Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas
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RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Composición de tres o más funciones"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tres-ou-mais-funcoes.htm. Consultado el 28 de junio de 2021.
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