Tú los triángulos tienen puntos notables con muchas aplicaciones.. Algunos de estos elementos, como altura, mediana, bisectriz y bisectriz, que vienen dados por segmentos rectos dentro del triángulo, tienen características y aplicaciones importantes, no solo en matemáticas.
Sabemos que la intersección de dos o más rectas viene dada por un punto, por lo que el encuentro de estos segmentos forman puntos que tienen características y propiedades importantes, son:
- ortocentro
- baricentro
- circuncentro
- centrar
altura del triangulo
la altura de un triángulo es el segmento formado por la unión de uno de los vértices con su lado opuesto o su extensión, en el que se forma un ángulo de 90 ° entre el segmento y el lado. En cada triángulo, es posible dibujar tres alturas relativas a cada lado. Vea:
el segmento AG es la altura relativa al lado BC, y el segmento DH es la altura relativa al lado EF. Nótese que para determinar la altura relativa al lado EF, fue necesario realizar una extensión del lado.
Ortocentro
El ortocentro es la intersección de las alturas relativas a los tres vértices, es decir, es punto de encuentro entre todas las alturas de un triángulo.
El punto O es el ortocentro del triángulo ABC.
El ortocentro tiene algunas propiedades importantes en algunos tipos de triángulos, consulte:
→ No triángulo agudo, las alturas y el ortocentro están dentro de la figura.
→ En uno triángulo rectángulo, dos alturas coinciden con los dos lados, otra altura está dentro del triángulo y el ortocentro está ubicado en el vértice de ese triángulo, que tiene un ángulo de 90 °.
→ En uno triángulo obtuso, una de las alturas está dentro del triángulo y las otras dos están fuera de él, el ortocentro también se encuentra en este exterior.
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mediana
La mediana de un triángulo es el segmento formado por el unión de uno de sus vértices con el punto medio del lado opuesto a ese vértice. Tenga en cuenta que, en un triángulo, es posible determinar tres medianas en relación con cada lado, consulte:
El segmento de línea CD es la mediana relativa al lado AB. Tenga en cuenta que este segmento ha dividido el lado AB en dos partes iguales, es decir, por la mitad.
Baricentro
El baricentro viene dado por el intersección de las tres medianas de un triángulo, es decir, por el punto de encuentro de las tres medianas, ver:
El punto GRAMO es el centro del triángulo ABC.
Como en el ortocentro, el baricentro tiene algunas propiedades importantes, ver:
→ El baricentro determinará en cada uno de los segmentos medianos que satisfagan cada una de las igualdades.
Ejemplo 1
Sabiendo que el punto G en la siguiente imagen es el baricentro del triángulo ABC y que GD = 3 cm, determine la longitud del segmento CG.
De las propiedades del baricentro, sabemos que la relación entre el segmento GD y CG es igual a la mitad. Entonces, reemplazando estos valores en la relación, tenemos:
→ Considerando la definición de mediana, vea que todas las medianas están dentro del triángulo, por lo que podemos concluir que el baricentro de cualquier triángulo también está siempre dentro de la figura.. Esta observación es válida para cualquier triángulo.
El baricentro también nos da una característica física importante de los triángulos, ya que nos permite equilibrarlos, es decir, la baricentro es el centro de masa de un triangulo.
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Mediadora
La bisectriz de un triángulo está dada por un línea perpendicular que pasa por el punto medio en un lado de este triángulo.
Circuncentro
El circuncentro está definido por el encuentro de las bisectrices, es decir, por la intersección entre ellos. Si representamos un triángulo inscrito en un circunferencia, veremos que el circuncentro es el centro de esta circunferencia, ver:
El punto METROes el circuncentro del triángulo ABC y el centro de la circunferencia. Los puntos H, I y J son, respectivamente, los puntos medios de los lados CB, CA y AB.
El circuncentro también tiene algunas propiedades cuando se dibuja en el triángulo rectángulo, el ángulo obtuso y el ángulo agudo.
→ El circuncentro en el triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa.
→ El circuncentro en un triángulo obtuso está en su exterior.
→ El circuncentro en un triángulo agudo se queda adentro.
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Bisectriz
La bisectriz de un triángulo está dada por la línea recta que divide un ángulo interno del triángulo. Al dibujar la bisectriz interna, observe que tendremos tres bisectrices internas relativas a los tres lados del triángulo:
centrar
El centro está dado por intersección de las bisectrices internas de un triángulo, es decir, viene dado por el encuentro de estos semiesteros. Dado que las bisectrices son internas, el incentro siempre estará dentro del triángulo también.
Incentro tiene algunas propiedades útiles para resolver algunos problemas, vea algunas de ellas:
→ El centro de un círculo inscrito en un triángulo coincide con el incentro de esa figura.
→ El incentro de un triángulo es equidistante de todos sus lados, es decir, las distancias entre el incentro y los tres lados del triángulo son todas iguales.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Sabiendo que el segmento del interior es la bisectriz con respecto al lado AC y que las medidas que se muestran en la figura representan el ángulo dividido por la bisectriz, determine el valor de x.
Resolución
Al definir una bisectriz, sabemos que divide el ángulo interno de un triángulo por la mitad, es decir, en dos partes iguales, por lo que tenemos que:
5x -10 = 3x + 20
resolviendo el ecuación de primer grado, tendremos que:
5x - 10 = 3x + 20
5x - 3x = 20 + 10
2x = 30
x = 15
Por lo tanto, x = 15.
Pregunta 2 - El segmento de recta perpendicular dibujado desde un vértice de un triángulo a uno de sus lados se llama:
la altura
b) bisectriz
c) bisectriz
d) mediana
e) base
Resolución
De las definiciones que estudiamos, vimos que la única que satisface la condición de enunciado es la altura. Recuerda que la altura es el segmento perpendicular a un lado de un triángulo.
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/pontos-notaveis-de-um-triangulo.htm