Triángulo rectángulo: qué es, área, perímetro

O triángulo rectángulo obtiene este nombre porque uno de sus ángulos mide 90º, es decir, es un ángulo recto. Siendo uno de los polígonos más estudiados en geometria plana, fue posible ver algunas relaciones entre los ángulos y también entre los lados de esta figura.

O Teorema de pitágoras, por ejemplo, se desarrolló después de darse cuenta de que existe una relación entre las medidas de los lados del triángulo. Así, conociendo las medidas de dos lados del triángulo, es posible calcular el valor del tercer lado. El teorema de Pitágoras dice que la suma del cuadrado de los catetos es siempre igual al cuadrado de la hipotenusa.

Además del teorema de Pitágoras, otra área importante desarrollada a través de los estudios de este triángulo fue el trigonometría, en el que se desarrollan las relaciones entre los lados del triángulo, conocidas como seno, coseno y tangente. Por estas razones, se notó que existe una proporción entre las medidas de los lados de triángulos rectángulos que tienen ángulos iguales.

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Lea también: ¿Cuáles son los puntos notables de un triángulo?

Características del triángulo rectángulo.

Objeto con forma de triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo es un polígono que tiene tres ladosy tres ángulos, y uno de estos ángulos es recto, es decir, tiene 90º. Los otros dos ángulos son agudos, es decir, menores de 90º. El lado más largo, que siempre está opuesto al ángulo de 90 °, se conoce como hipotenusa, y los otros dos se llaman pecaríes.

El triángulo rectángulo conserva todas las propiedades conocidas del triángulo común, como el hecho de que La suma de ángulos internos ser igual a 180º. Como la suma siempre es 180º y uno de sus ángulos ya tiene 90º, podemos decir que los otros dos ángulos son siempre complementarios, es decir, su suma también es igual a 90º.

ayb → pechos

c → hipotenusa

Perímetro del triángulo rectángulo

El perímetro de cualquier polígono es la longitud de la suma de todos sus lados. Entonces, para calcular el perímetro del triángulo rectángulo, simplemente suma sus lados.

P = a + b + c

área del triángulo rectángulo

LA área del triángulo rectángulo, así como un triángulo cualquiera, es la mitad del producto entre la base y la altura. Lo especial del triángulo rectángulo es que uno de sus catetos coincide con su altura, ya que son perpendiculares entre sí, por lo que para calcular el área, multiplicamos las piernas y dividimos el resultado por dos.

Ejemplo:

Calcula el perímetro y el área del triángulo rectángulo de abajo sabiendo que sus lados están dados en centímetros.

P = 8 + 15 + 17

P = 40 cm

Ahora calculemos el área:

Vea también: Calcular el área de un triángulo usando ángulos

Teorema de pitágoras

El teorema más conocido en matemáticas es, sin duda, el teorema de Pitágoras. A partir de este teorema, fue posible ver que los lados de un triángulo rectángulo están relacionados de la siguiente manera: dado cualquier triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado.

a² + b² = c²

ayb → pechos

c → hipotenusa

A partir de este teorema, es posible encontrar el valor de cualquier lado de un triángulo rectángulo, siempre que se conozcan los otros dos.

Ejemplo:

¿Cuál es el valor de la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo sabiendo que sus medidas se dan en centímetros?

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

6² + 8² = x²

36 + 64 = x²

100 = x²

x² = 100

x = √100

x = 10 cm

Para obtener más información sobre esta importante relación, lea el texto: TEorema de Pitágoras.

Trigonometría en el triángulo rectángulo

El nombre trigonometría ya hace referencia a su objeto de estudio:

tri → tres;
gono → ángulo;
métricas → métrica o medida.

Por tanto, la trigonometría es el área de las matemáticas que estudia la relación entre las medidas de los ángulos del triángulo y aquí vamos a ceñirnos al triángulo rectángulo. La trigonometría estudia la relación entre los lados del triángulo según su ángulo. Con esto, fue posible desarrollar conceptos importantes, que son las razones seno, coseno y tangente. Cabe mencionar que otras razones trigonométricas se desarrollaron con la profundización del estudio de la trigonometría en el círculo trigonométrico.

Antes de comprender cuáles son cada una de estas proporciones, es importante comprender qué es un lado opuesto y qué es un lado adyacente en un ángulo de un triángulo.

Como hemos visto, el hipotenusa es el lado representado por el segmento AB, ya que siempre es el lado más largo del triángulo y también el lado orientado en ángulo de 90º. Los otros lados se conocen como piernas. Dependiendo del ángulo que tomemos como referencia, el lado puede ser opuesto o adyacente.

El pecarí se conoce como opuesto cuando mira hacia el ángulo. El lado opuesto al ángulo ꞵ, por ejemplo, es el lado AC; por otro lado, el lado opuesto al lado del ángulo es el lado BC.

O pecarí se conoce como adyacente cuando él forma el ángulo cerca de la hipotenusa. Tenga en cuenta que el ángulo ꞵ está entre el lado BC y AB. Dado que AB es la hipotenusa del triángulo rectángulo, AB es un cateto adyacente al ángulo ꞵ. Usando el mismo razonamiento, es posible ver que el lado AC es el lado adyacente del ángulo ɑ.

Al comprender cada lado del triángulo, es posible comprender el razones trigonométricas.

Para aplicar razones trigonométricas, debemos conocer los ángulos notables, es decir, los ángulos de 30º, 45º y 60º. La mayoría de los problemas de exámenes y exámenes de acceso están vinculados a estos ángulos, por lo que es necesario conocer los valores de las razones de cada uno de ellos.

Consulte la tabla con los valores de seno, coseno y tangente para los ángulos notables:

Conociendo el valor de las razones trigonométricas del triángulo por medio de un lado y un ángulo, es posible encontrar todos los lados de un triángulo rectángulo a partir de la trigonometría.

Ejemplo:

Encuentra el valor de x.

Para encontrar el valor de x, veamos el ángulo que se le dio. Tenga en cuenta que es adyacente al lado del que conocemos la medida, es decir, AC es adyacente al ángulo de 30 °. Luego, aplicaremos la razón de la tangente, que relaciona el lado adyacente y la hipotenusa. Además, al mirar la tabla, sabemos que el coseno de 30 es igual a √3 / 2.

También acceda a: 4 errores más comunes en trigonometría básica

ejercicios resueltos

Pregunta 1 - (IFG) El teodolito es un instrumento de precisión para medir ángulos horizontales y ángulos verticales, utilizado en trabajos de construcción. Se contrató a una empresa para pintar un edificio de cuatro pisos. Para saber el área total que se va a pintar, necesita encontrar la altura del edificio. Una persona coloca el instrumento a 1,65 metros de altura, encontrando un ángulo de 30 °, como se muestra en la figura. Suponiendo que el teodolito está a 13√3 metros del edificio, ¿cuál es la altura, en metros, del edificio que se va a pintar?

A) 11,65

B) 12,65

C) 13,65

D) 14,65

E) 15,65

Resolución

Alternativa D.

Como queremos encontrar el lado opuesto al ángulo de 30 °, sabiendo que la distancia 13√3, que es la distancia desde el teodolito al edificio, es el lado adyacente al ángulo de 30 °, entonces usaremos la tangente:

Ahora sumaremos 13 + 1,65 = 14,65 metros de altura.

Pregunta 2 - Para realizar la siembra en su propiedad, un agricultor dividió su tierra cultivable en forma rectangular por la mitad, en su diagonal, formando dos triángulos rectángulos. En esta división, la mitad del terreno estará cercado con alambre, utilizando 4 alambres. Sabiendo que las dimensiones del terreno son 20 metros de ancho y 21 metros de largo, ¿cuánto se gastará en alambre?

A) 29 metros

B) 70 metros

C) 140 metros

D) 210 metros

E) 280 metros

Resolución

Alternativa E.

Primero, busquemos la diagonal del terreno, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Para que sea más fácil, haremos una imagen de la situación: