El conjunto de números primos es el objeto de estudio en Matemáticas de la antigua Grecia. Euclides, en su gran obra “Los Elementos”, ya discutió el tema, logrando demostrar que este colocar es infinito. Como sabemos, los números primos son aquellos que tienen el número 1 como divisor y ellos mismos, así, encontrar primos muy grandes no es una tarea fácil, y el tamiz de Eratóstenes lo hace fácil. reunión.
¿Cómo saber cuándo un número es primo?
Sabemos que un número primo es unquien tenga como divisor el número 1 y él mismo, por lo que un número que, en su lista de divisores, tiene números distintos de 1 y por sí mismo no será primo, consulte:
Al enumerar los divisores 11 y 30, tenemos:
D (11) = {1, 11}
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Tenga en cuenta que el número 11 solo tiene el número 1 y a sí mismo como divisores, por lo que el el número 11 es un número primo. Ahora, mire los divisores del número 30, tiene, además del número 1 y él mismo, los números 2, 3, 5, 6 y 10 con divisores. Por lo tanto, el número 30 no es primo.
→ Ejemplo: Enumere los números primos menores que 15.
Para ello, enumeraremos los divisores de todos los números entre 2 y 15.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
Por lo tanto, los números primos menores a 15 son:
2, 3, 5, 7, 11 y 13
Seamos realistas, esta tarea no sería muy agradable, por ejemplo, si tuviéramos que anotar todos los números primos entre 2 y 100. Para evitarlo, aprenderemos a utilizar, en el siguiente tema, el tamiz de Eratóstenes.
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Tamiz de Eratóstenes
El tamiz de Eratóstenes es un herramienta que tiene como objetivo facilitar la determinación de números primos. El tamiz consta de cuatro pasos, y es necesario, para comprenderlos, tener en cuenta las criterios de divisibilidad. Antes de comenzar el paso a paso, debemos crear una tabla desde el número 2 hasta el número deseado, ya que el número 1 no es primo. Luego:
→ Paso 1: Del criterio de divisibilidad por 2, tenemos que los números pares son todos divisibles por él, es decir, el El número 2 aparecerá en la lista de divisores, por lo que estos números no serán primos y debemos excluirlos del tabla. Son ellos:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Paso 2: A partir del criterio de divisibilidad por 3, sabemos que un número es divisible por 3 si el suma de sus dígitos también lo es. Por lo tanto, debemos excluir estos números de la tabla, ya que no son primos porque hay un número distinto de 1 y él mismo en la lista de divisores. Entonces, debemos excluir los números:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Paso 3: A partir del criterio de divisibilidad entre 5, sabemos que todos los números que terminan en 0 o 5 son divisibles entre 5, por lo que debemos excluirlos de la tabla.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Paso 4: De manera similar, debemos excluir los números que son múltiplos de 7 de la tabla.
14, 21, 28, …, 546, …
- Conociendo el tamiz de Eratóstenes, determinemos los primos entre 2 y 100.
1 |
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88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ no son primos
→ números primos
Entonces, los números primos entre 2 y 100 son:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Lea también: Cálculo de MMC y MDC: ¿cómo hacerlo?
Descomposición de factores primos
LA descomposición de factores primos se conoce formalmente como teorema fundamental de la aritmética. Este teorema establece que cualquier numero entero diferente de 0 y mayor que 1 se puede representar mediante el producto de números primos. Para determinar la forma factorizada de un número entero, debemos realizar sucesivas divisiones hasta llegar al resultado igual a 1. Vea el ejemplo:
→ Determina la forma factorizada de los números 8, 20 y 350.
Para factorizar el número 8, debemos dividirlo por el primer número primo posible, en este caso por 2. Luego, realizamos otra división también por el posible primo, este proceso se repite hasta llegar al número 1 como respuesta a la división. Vea:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Por lo tanto, la forma factorizada del número 8 es 2 · 2 · 2 = 23. Para facilitar este proceso, adoptaremos el siguiente método:
Por lo tanto, el número 8 se puede escribir como: 23.
→ Para factorizar el número 20 usaremos el mismo método, es decir: dividirlo entre números primos.
Entonces, el número 20, en su forma factorizada, es: 2 · 2 · 5 o 22 · 5.
→ Del mismo modo, lo haremos con el número 350.
Por lo tanto, el número 350, en su forma factorizada, es: 2 · 5 · 5 · 7 o 2 · 52 · 7.
Vea también: Notación científica: ¿para que sirve?
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Simplifica la expresión:
Solución
Primero, factoricemos la expresión para que sea más fácil.
Por lo tanto, 1024 = 210, por lo que podemos sustituir uno por otro en la expresión del ejercicio. Así:
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
