Al resolver una ecuación de 1er grado obtenemos un resultado (este resultado es un valor numérico que, reemplazando la incógnita por esto, llegamos a una igualdad numérica), esto se puede llamar la raíz de la ecuación o el conjunto de verdad o el conjunto solución de la ecuación. Vea el ejemplo:
2x - 10 = 4 es una ecuación de primer grado.
2x = 4 + 10
2x = 14
x = 14
2
S = 7
Por lo tanto, 7 es el verdadero conjunto de la ecuación, solución o raíz de la ecuación 2x - 10 = 4.
Si reemplazamos la x (desconocida) por la raíz, alcanzaremos una igualdad numérica, ver:
2. 7 - 10 = 4
14 – 10 = 4
4 = 4 es una igualdad numérica, tomamos la prueba real de que 7 es la raíz de la ecuación.
Es a través de este conjunto verdadero que identificamos las ecuaciones equivalentes, porque cuando el conjunto la verdad de una ecuación es igual al conjunto de verdad de otra ecuación decimos que ambas son ecuaciones equivalentes. Así, podemos definir ecuaciones equivalentes como:
Dos o más ecuaciones solo son equivalentes si su conjunto de verdad es igual.
Vea un ejemplo de una ecuación equivalente:
Dadas las ecuaciones 5x = 10 y x + 4 = 6. Para comprobar si son equivalentes, primero se debe encontrar el conjunto de verdad para cada uno.
5x = 10x + 4 = 6
x = 10: 5 x = 6 - 4
x = 2 x = 2
Las dos soluciones son iguales, por lo que podemos decir que las ecuaciones 5x = 10 y x + 4 = 6 son equivalentes.
Si igualamos las dos ecuaciones a cero, se verían así:
5x = 10x + 4 = 6
5x - 10 = 0 x + 4-6 = 0
x - 2 = 0
Entonces, podemos decir que: 5x - 10 = x - 2 y 5x = 10 y x + 4 = 6 son equivalentes, las dos formas de responder significan lo mismo.
¿Cómo pasamos de una ecuación a una ecuación equivalente a ella? Para ello necesitamos utilizar los principios de igualdad, estos principios se utilizan tanto para encontrar ecuaciones equivalentes como para cualquier tipo de igualdad matemática.
Principios de igualdad
►Principio aditivo de igualdad.
Este principio dice que en una igualdad matemática si sumamos el mismo valor a los dos miembros de una ecuación, obtendremos una ecuación equivalente a la ecuación dada. Vea el ejemplo:
Dada la ecuación 3x - 1 = 8. Si sumamos 5 a los dos miembros de su igualdad, tendremos:
3x - 1 + 5 = 8 + 5
3x + 4 = 13 llegamos a otra ecuación.
Según el principio aditivo de igualdad, las dos ecuaciones son equivalentes. Si encontramos las raíces de las dos ecuaciones, encontramos que son iguales, entonces estableceremos lo que dice este principio de que las dos son equivalentes. Ver el cálculo de sus raíces:
3x - 1 = 8 3x + 4 = 13
3x = 8 + 1 3x = 13 - 4
3x = 9 3x = 9
x = 9: 3 x = 9: 3
x = 3 x = 3
►Principio multiplicativo de igualdad.
Este principio dice que cuando multiplicamos o dividimos los dos miembros de la igualdad por el mismo número, siempre que sea diferente de cero, obtendremos otra ecuación que será equivalente a la ecuación dado. Vea el ejemplo:
Dada la ecuación x - 1 = 2, una forma de encontrar una ecuación equivalente es usar el principio multiplicativo de igualdad. Si multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por 4, tenemos:
4. (x - 1) = 2. 4
4x - 4 = 8 llegamos a otra ecuación que es equivalente a la ecuación x - 1 = 2.
Ya sabemos que sus ecuaciones son equivalentes si sus raíces son iguales. Así que calculemos las raíces del ejemplo anterior para ver si realmente son equivalentes.
x - 1 = 2 4x - 4 = 8
x = 2 + 1 4x = 8 + 4
x = 3 4x = 12
x = 12: 4
x = 3
Las raíces son iguales, por lo que confirmamos el principio multiplicativo de igualdad.
por Danielle de Miranda
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Ecuación - Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-1-grau-equivalentes.htm
