Racionalización de denominadores es la técnica utilizada cuando un fracción tienes un número irracional en el denominador y quieres encontrar una segunda fracción equivalente a la primera fracción, pero que no tiene un número irracional en su denominador. Para ello, es necesario realizar operaciones matemáticas para reescribir la fracción para que no tenga una raíz inexacta en su denominador.
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¿Cómo racionalizar los denominadores?
Comenzaremos con el caso más simple de racionalizar denominadores y pasaremos al más complejo, pero la técnica en sí es buscar una fracción equivalente multiplicar el numerador y el denominador por un número conveniente que permita eliminar la raíz del denominador de la fracción. Vea cómo hacer esto en diferentes situaciones a continuación.
Racionalización cuando hay una raíz cuadrada en el denominador
Hay algunas fracciones que se pueden representar con Numeros irracionales en los denominadores. Vea algunos ejemplos:
Cuando el denominador de fracción es irracional, utilizamos algunas técnicas para transformarlo en un denominador racional, como la racionalización. cuando hay un raíz cuadrada en el denominador, podemos dividir en dos casos. El primero es cuando la fracción tiene una sola raíz en su radical.
Ejemplo 1:
Para racionalizar este denominador, busquemos la fracción equivalente a este, pero que no tiene un denominador irracional. Por esto, vamos multiplica el numerador y el denominador por el mismo número - en este caso, será exactamente el denominador de la fracción, es decir, √3.
A multiplicación de fracciones, multiplicamos directamente. Sabemos que 1 · √3 = √3. En el denominador, tenemos que √3 · √3 = √9 = 3. Con eso, llegamos a lo siguiente:
Por tanto, tenemos una representación de la fracción cuyo denominador no es un número irracional.
Ejemplo 2:
El segundo caso es cuando hay un adición o una diferencia entre una raíz inexacta.
Cuando hay una diferencia o una adición de términos en el denominador, siendo uno de ellos la raíz no exacta, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Llamamos al conjugado de √2 - 1 el inverso del segundo número, es decir, √2 + 1.
Realizando la multiplicación en el numerador, tenemos que:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
El denominador es el producto notable conocido como producto de suma por diferencia. Su resultado es siempre el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Entonces, racionalizando el denominador de esta fracción, tenemos que:
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Racionalización cuando hay una raíz de índice mayor que 2
Ahora mire algunos ejemplos cuando hay en el denominador una raíz de índices mayor que 2.
Dado que el objetivo es eliminar el radical, multipliquemos el denominador para que la raíz de ese denominador pueda cancelarse.
Ejemplo 1:
En este caso, para eliminar el exponente del radical, vamos a multiplicar por la raíz cúbica de 2² en el numerador y denominador, de modo que aparece dentro del radical 2³ y, así, es posible anular la raíz cúbica.
Al realizar la multiplicación tenemos que:
Ejemplo 2:
Usando el mismo razonamiento, multipliquemos el denominador y el numerador por un número que causa la Potencia del denominador al índice, es decir, vamos multiplicar por la quinta raíz de 3 al cubo para que pueda cancelar el denominador.
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ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Racionalizando el denominador de la fracción a continuación, encontramos:
A) 1 + √3.
B) 2 (1 + √3).
C) - 2 (1+ √3).
D) √3.
E) √3 –1.
Resolución
Alternativa C.
Pregunta 2 - (IFCE 2017 - adaptado) Aproximando los valores de √5 y √3 al segundo decimal, obtenemos 2.23 y 1.73, respectivamente. Aproximadamente, el valor de la siguiente expresión numérica al segundo decimal es:
A) 1,98.
B) 0,96.
C) 3,96.
D) 0,48.
E) 0,25.
Resolución
Alternativa E.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm