Logaritmo es una herramienta muy importante no solo para el área de Matemáticas, ya que tiene aplicación en varios campos de la ciencia, como la geografía, la química y la informática.
Históricamente el logaritmo surge con el fin de facilitar las cuentas que apareció con frecuencia en varias áreas científicas. John Napier fue pionero en el estudio de los logaritmos y logró desarrollar la operación capaz de transformar productos en suma, divisiones en restas y potencias en multiplicaciones.
Definiendo esta operación, con el tiempo, otros matemáticos formalizaron definiciones y propiedades, además, el conocido tabla de troncos.
Definición del logaritmo
Dibuja la gráfica de la función logarítmica (derecha) y su inversa exponencial (izquierda).
considerar dos numeros reales positivo La y B, con hasta ≠ 0. el logaritmo de B en la base La es el numero X si y solo si, La elevado a X es igual al número B.
Nomenclatura:
la → base
b → logaritmo
x → logaritmo
Vea los ejemplos:
Cuando un logaritmo tiene una base igual a 10, se llama
logaritmo decimal. Al registrar un registro decimal, no es necesario escribir base 10. Se acuerda que:
Leer tambien: Sistema de logaritmo decimal
¿Cómo calcular un logaritmo?
Para calcular un logaritmo, tenemos que buscar un número que, cuando elevamos la base, da como resultado el logaritmo. Tomando como ejemplo el logaritmo de 36 en base 6 en el ejemplo anterior, debemos encontrar un número que, cuando elevamos la base 6, resulte en 36. como 62 = 36, con respuesta 2. Veamos más ejemplos:
1) Registro 1000. Para calcular este logaritmo, debemos encontrar un número que, elevado a 10, sea igual a 1000, es decir, 10X = 1000.
Resolviendo la ecuación exponencial, tenemos:
10X=1000
10X = 103
x = 3
Por lo tanto,
1.Calcule el logaritmo:
Debemos encontrar un número que, a raíz de 7, sea igual a cuarenta y nueve. Resolviendo la ecuación, tenemos:
Lea mas: Ecuación exponencial - ecuación con incógnita en exponente
Condición de existencia de logaritmo
Considere el siguiente logaritmo:
La expresión solo se define para cuando la base es mayor que cero y diferente de uno y cuando la base es mayor que cero, es decir:
a> 0 y a ≠ 0
b> 0
Propiedad de logaritmos
Vea los principales a continuación. propiedades de los logaritmos. Todos los logaritmos citados aquí satisfacen la condición de existencia.
Propiedad 1
El logaritmo del producto de dos factores es igual a la suma de los logaritmos de estos factores.
Propiedad 2
El logaritmo del cociente entre dos números es igual a la diferencia de los logaritmos de esos números.
Propiedad 3
El logaritmo de una potencia es igual a multiplicar el exponente de esa potencia por el logaritmo de la base de la potencia, donde mantenemos la base del logaritmo.
Propiedad 4
El logaritmo de una raíz es igual al inverso del índice de la raíz multiplicado por el logaritmo, donde también mantenemos la base.
Propiedad 5
El logaritmo de un número, en una base elevada a una potencia, es igual a la multiplicación de la inversa del exponente de esa base.
Sepa mas: Aplicaciones delogaritmos: ver ejemplos
Ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Fuvest - SP) Si x5 = 1000 yb3 = 100, entonces el logaritmo de x en base b es:
A) 0,5
B) 0,9
C) 1.2
D) 1,5
E) 2.0
Solución
Dado que los números 1000 y 100 se pueden escribir en base 10, tenemos:
Sustituyendo el logaritmo de x en base by aplicando la definición, tenemos:
Pregunta 2 - (Enem) El potencial hidrogénico (pH) de una solución se define como el índice que indica su acidez, neutralidad o alcalinidad. Se encuentra de la siguiente manera:
siendo H+ la concentración de iones de hidrógeno en esa solución. El pH de una solución, donde H+ = 1,0 ·10-9, é:
Solución:
Reemplazo del valor H+ en la fórmula del pH tenemos:
Por L.do Robson Luiz
Profesor de matemáticas