Algunas situaciones que involucran progresiones geométricas reciben especial atención en cuanto a desarrollo y solución. Ciertas secuencias geométricas, cuando se agregan, tienden a un valor numérico fijo, es decir, la introducción de nuevos términos en la suma hace A medida que la serie geométrica se acerca cada vez más a un valor, este tipo de comportamiento se denomina Serie geométrica. Convergente. Analicemos la siguiente progresión geométrica (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) de la razón q = 1/3, determinando las siguientes situaciones: Y5 y S10.
Suma de términos de una progresión geométrica
A medida que aumenta el número de términos, el valor de la suma de los términos en la progresión se aproxima a 6. Concluimos que la suma de la secuencia (4, 4/3, 4/9, 4/27, ...) converge a 6 siempre que se introducen nuevos elementos. Podemos demostrar la situación general de la siguiente manera: 4 + 4/3 + 4/9 + 4/27 +... = 6.
Otra situación que involucra progresiones geométricas es la serie divergente, que no tiende a un número fijados como los convergentes, ya que aumentan cada vez más a medida que se introducen nuevos términos en el progresión. Mira el PG
(3, 6, 12, 24, 48, ...) de razón q = 2, determinemos las sumas cuando: n = 10 yn = 15.
Tenga en cuenta que la suma aumentó con el número de términos, S10 = 3069 y S15 = 98301, entonces decimos que la serie diverge, se vuelve tan grande como quieras.
Volviendo al estudio de las Series Convergentes, podemos determinar una sola expresión que exprese el valor al que se aproxima la serie geométrica, para eso consideraremos algunos puntos. Supongamos que la razón q asume valores dentro del rango ] - 1 y 1 [, esto es - 1 , por lo tanto, podemos concluir que el elemento qn de la expresión que determina la suma de términos de un PG tiende a cero a medida que aumenta el número de términos n. De esta forma, podemos considerar qn = 0. Siga la demostración:
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sNo = La1(qn – 1) = La1(0 – 1) = – La1 = La1
qué – 1 q – 1 q – 1 1 – qué
Entonces, la siguiente expresión sigue:
sNo = La1, –1 1 – qué
por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Progresiones - Matemáticas - Escuela Brasil
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SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Series geométricas convergentes y divergentes"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/series-geometricas-convergentes-divergentes.htm. Consultado el 29 de junio de 2021.
