Cubo de suma y cubo de diferencia son dos tipos de productos notables, donde se están sumando o restando dos términos y luego al cubo, es decir, con un exponente igual a 3.
(x + y) ³ -> cubo de suma
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(x – y) ³ -> cubo de diferencia
La suma cúbica también se puede escribir como (x+y). (x+y). (x + y) y el cubo de la diferencia como (x – y). (x – y). (x - y).
Estos productos reciben el nombre de productos notables por la importancia que tienen, ya que aparecen con frecuencia en los cálculos algebraicos.
Ahora, recuerda que, en matemáticas, la misma expresión se puede escribir de otra forma, pero sin cambiar su valor. Por ejemplo, x + 1 + 1 se puede escribir simplemente como x + 2.
A menudo, cuando reescribimos una expresión, podemos simplificar y resolver muchos problemas algebraicos. Por tanto, veamos otra forma de escribir el cubo de la suma y el cubo de la diferencia, desarrollándolos algebraicamente.
cubo de suma
O cubo de suma es el producto notable (x + y) ³, que es lo mismo que (x + y). (x+y). (x+y). De esta manera, podemos escribir:
(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)
Ahora, considerando que (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², el cubo de la suma se puede escribir como:
(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Multiplicando el polinomio (x + y) por (x² + 2xy + y²), podemos ver que:
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Sumando términos semejantes, tenemos que el cubo de la suma viene dado por:
(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Ejemplo:
Desarrolle cada cubo algebraicamente:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) ³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
cubo de diferencia
O cubo de diferencia es el producto notable (x – y) ³, que es lo mismo que (x – y). (x – y). (x – y). Entonces, tenemos que:
(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)
Como (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², el cubo de la diferencia se puede escribir como:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Multiplicando (x – y) por (x² – 2xy + y²), podemos ver que:
(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Sumando términos semejantes, tenemos que el cubo de la diferencia viene dado por:
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Ejemplo:
Desarrolle cada cubo algebraicamente:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3.4a².b + 3.2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
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