La suma de dos cubos es el séptimo caso de factorizar expresiones algebraicas, su razonamiento es el mismo que en suma de dos cubos, razonamiento que aclara cómo y cuándo debemos usarlo, observe la siguiente demostración:
Dados dos números cualesquiera x e y. Si restamos obtendremos: x - y, si construimos una expresión algebraica con los dos números obtendremos: x2 + xy + y2, por tanto, debemos multiplicar las dos expresiones encontradas.
(x - y) (x2 + xy + y2) es necesario utilizar la propiedad distributiva;
X3 + X2y + xy2 - X2y –xy2 -y3 unirse a términos similares;
X3 -y3 es una expresión algebraica de dos términos, los dos se reducen al cubo y se restan.
Por tanto, podemos concluir que x3 -y3 es una forma general de la suma de dos cubos donde
xey pueden tomar cualquier valor real.
La forma factorizada de x3 -y3 será (x - y) (x2 + xy + y2).
Vea algunos ejemplos:
Ejemplo 1
Si tenemos que factorizar la siguiente expresión algebraica 8x3 - 27, debemos tener en cuenta que tiene dos términos. Recordando los casos de factorización, el único caso que factoriza dos términos es la diferencia de dos cuadrados, la suma de dos cubos y la diferencia de dos cubos.
En el ejemplo anterior, los dos términos están al cubo y entre ellos hay una resta, por lo que debemos usar el 7mo caso de factorización (diferencia de dos cubos), para factorizar debemos escribir la expresión algebraica 8x3 - 27 de la siguiente manera:
(x - y) (x2 + xy + y2). Al sacar las raíces cúbicas de los dos términos, tenemos: 8x3 – 27
La raíz cúbica 8x3 es 2x y la raíz cúbica de 27 es 3. Ahora, solo sustituya valores, en lugar de x ponemos 2x y en lugar de y ponemos 3 en forma factorizada
(x - y) (x2 + xy + y2), con este aspecto:
(2x - 3) ((2x)2 + 2x. 3 + 32)
(2x - 3) (4x2 + 6x + 9)
Entonces (2x - 3) (4x2 + 6x + 9) es la forma factorizada de la expresión algebraica 8x3 – 27.
Ejemplo 2
Para resolver la factorización utilizando la diferencia de dos cubos debemos seguir los mismos pasos que en el ejemplo anterior. Factorizar la expresión algebraica r3 - 64 tenemos: Las raíces cúbicas de r3 es r y 64 es 4, sustituyendo r por x y r por y por 4.
(r - 4) (r2 + 4r + 16) es la forma factorizada de r3 – 64.
por Danielle de Miranda
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Factorización de expresiones algebraicas
Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/diferenca-dois-cubos.htm