Siempre que se utilice la palabra "algebraica" para una expresión numérica, significa que esa expresión tiene al menos una incógnita, es decir, una letra o símbolo utilizado para representar un número desconocido. Por lo tanto, un fracción algebraica, a su vez, no es más que una fracción que tiene al menos una incógnita en el denominador (parte inferior de la fracción). Por lo tanto, los simplificación de fracciones algebraicas sigue la misma base que la simplificación de fracciones numéricas.
Ejemplos de fracciones algebraicas son:
1)
2x
4 años
2)
4 años2 - 9 veces2
2 años + 3 veces
Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de una fracción algebraica sigue la misma base que la simplificación de una fracción numérica. Es necesario dividir numerador y denominador por el mismo número. Tenga en cuenta un ejemplo de simplificación de fracciones:
30 = 15 = 5 = 1
60 30 10 2
La fracción anterior se simplificó en 2, luego en 3 y luego en 5. Para apoyar el procedimiento de simplificación de fracciones algebraicas, reescribiremos la primera fracción anterior en su forma factorizada:
30 = 2·3·5
60 2·2·3·5
Tenga en cuenta que los números 2, 3 y 5 se repiten en el numerador y denominador y que eran exactamente los mismos números con los que se simplificó la fracción. En el contexto de fracciones algebraicas, el procedimiento es similar, ya que es necesario factorizar los polinomios presentes en el numerador y denominador. Después de eso, debemos evaluar si es posible simplificar algunos de ellos..
Ejemplos de
1) Simplifica la siguiente fracción algebraica:
4x2y3
16xy6
Factoriza cada una de las incógnitas y números presentes en la fracción:
4x2y3
16xy6
2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y
Ahora realice tantas divisiones como sea posible, como lo hizo anteriormente para la fracción numérica: Los números que aparecen tanto en el numerador como en el denominador desaparecen, es decir, son "cortar". También es posible escribir que el resultado de cada una de estas simplificaciones es 1. Mirar:
2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y
X
2 · 2 · año · año · año
X
4 años3
2) Simplifica la siguiente fracción algebraica:
4 años2 - 9 veces2
2 años + 3 veces
Tenga en cuenta que el numerador de este fracción algebraica cae en uno de los casos de productos notables, es decir, el diferencia de dos cuadrados. Para factorizarlo, simplemente vuelva a escribirlo en su forma factorizada. Posteriormente, es posible “cortar” los términos que aparecen tanto en el denominador como en el numerador como en el ejemplo anterior. Mirar:
4 años2 - 9 veces2
2 años + 3 veces
= (2 años + 3 veces) (2 años - 3 veces)
2 años + 3 veces
= 1 · (2y - 3x)
= 2 años + 3 veces
3) Simplifica la siguiente fracción algebraica:
La2(y2 - 16x2)
ay + 4ax
Como se hizo anteriormente, factorice los polinomios presentes en el numerador y denominador. Después de eso, realice las divisiones que sean posibles.
La2(y2 - 16x2)
ay + 4ax
= La·La·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)
Tenga en cuenta que el numerador se ha factorizado utilizando el diferencia de dos cuadrados y el denominador se factorizó mediante el factor común. Además, el término a2 se puede escribir como el producto a · a. Finalmente, realice tantas divisiones como sea posible. Es decir, a por a y (y + 4x) por (y + 4x):
La·La·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)
= 1 · 1 · (y - 4x)
= y - 4x
Los casos de factorización son de suma importancia para simplificar las fracciones algebraicas. A continuación se enumeran los casos más importantes y algunas páginas donde se pueden encontrar con más detalle.
Factorización de expresiones algebraicas
Un polinomio se puede escribir en su forma factorizada si se puede expresar en una de las cuatro formas siguientes. Los resultados presentados son su forma factorizada o ejemplos de cómo factorizarlos:
1 - Factor común
Si todos los términos del polinomio tienen un número desconocido o común, es posible ponerlos en evidencia. Por ejemplo, en el polinomio 4x2 + 2x podemos poner 2x como evidencia. El resultado será:
4x2 + 2x = 2x (2x + 1)
Tenga en cuenta que al realizar la multiplicación indicada en el segundo miembro (lado derecho de la igualdad), el resultado será precisamente el primer miembro (lado izquierdo de la igualdad), debido a la propiedad distributiva del multiplicación.
2 - Agrupación
En vista del caso anterior, un polinomio que tiene cuatro términos se puede factorizar agrupando, uniendo los términos comunes de dos en dos, y luego se factorizará nuevamente si los resultados dejan este posibilidad. El 2x + bx + 2y + por polinomio, por ejemplo, se puede factorizar de la siguiente manera:
2x + bx + 2y + por
x (2 + b) + y (2 + b)
Tenga en cuenta que (2 + b) se repite en ambos términos nuevos. Entonces, podemos ponerlo en evidencia:
x (2 + b) + y (2 + b)
(2 + b) (x + y)
3 - Trinomio cuadrado perfecto
Siempre que un polinomio es un trinomio cuadrado perfecto, se escribe equivalente a una de las siguientes tres expresiones dispuestas a la izquierda y en rojo.
X2 + 2x + a2 = (x + a) (x + a)
X2 - 2x + a2 = (x - a) (x - a)
X2 - a2 = (x + a) (x - a)
El lado derecho es la forma factorizada del polinomio, que se puede utilizar para simplificación de fracciones algebraicas.
4 - Suma o diferencia de dos cubos
Siempre que el polinomio tenga la siguiente forma o se le pueda escribir, será una suma de dos cubos.
X3 + 3 veces2a + 3x2 + el3 = (x + a)3
X3 - 3 veces2a + 3x2 - a3 = (x - a)3
Nuevamente, el lado izquierdo, en rojo, es el polinomio que se puede factorizar y reescribir como las expresiones del lado derecho.
Por Luiz Paulo Moreira
Licenciada en Matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm