LA secuencia numérica, como sugiere el nombre, es una secuencia de números y generalmente tiene una ley de recurrencia, que permite predecir cuáles serán los siguientes términos conociendo a sus predecesores. Podemos ensamblar secuencias numéricas con diferentes criterios, como una secuencia de números pares o una secuencia de números. divisible por 4, secuencia de números primos, secuencia de cuadrados perfectos, finalmente, hay varias posibilidades de secuencias numérico.
Cuando clasificamos la secuencia en términos del número de términos, la secuencia puede ser finita o infinita. Cuando clasificamos la secuencia en términos del comportamiento de los términos, esta secuencia puede ser ascendente, descendente, oscilante o constante. Hay casos especiales de secuencias que se conocen como progresiones aritméticas y progresiones geométricas.
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Resumen de secuencia numérica
La secuencia numérica no es más que una secuencia de números.
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Algunos ejemplos de secuencia numérica:
secuencia de números pares (0,2,4,6,8…);
secuencia de naturales menos de 6 (1, 2, 3, 4, 5);
secuencia de números primos (2,3,5,7,11,…).
La ley de formación de una progresión es la regla que gobierna esta secuencia.
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Una secuencia puede ser finita o infinita.
Finito: cuando tienes una cantidad limitada de términos.
Infinito: cuando tienes una cantidad ilimitada de términos.
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Una secuencia puede ser creciente, incrédula, constante o fluctuante.
Media luna: cuando el término es siempre menor que su sucesor.
Descendente: cuando el plazo es siempre mayor que su sucesor.
Constante: cuando el término es siempre igual a su sucesor.
Oscilante: cuando existen términos más grandes y más pequeños que su sucesor.
Hay casos especiales de secuencia conocidos como progresión aritmética o progresión geométrica.
Ley de ocurrencia de secuencia numérica
Lo conocemos como secuencia numérica cualquier secuencia formada por números. Por lo general, demostramos secuencias enumerando sus términos, entre paréntesis y separados por una coma. Esta lista se conoce como la ley de ocurrencia de una secuencia numérica.
(La1, a2, a3, …, aNo)
La1 → 1er término de la secuencia
La2 → 2do término de la secuencia
La3 → 3er término de la secuencia
LaNo → enésimo término de la secuencia
Veamos algunos ejemplos a continuación.
Ejemplo 1:
Ley de ocurrencia de secuencia de números múltiplos de 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Ejemplo 2:
Ley de ocurrencia de la secuencia de números primos:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Ejemplo 3:
Ley de ocurrencia de entero negativo:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Ejemplo 4:
Secuencia de números impares menor que 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
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Clasificación de secuencia numérica
Hay dos formas distintas de clasificar una cadena. El primero es en cuanto a la cantidad de términos, la forma en que una secuencia puede ser finita o infinita. La otra forma de clasificar secuencias es en cuanto a su comportamiento. En este caso, se clasifican en crecientes, decrecientes, constantes o fluctuantes.
Clasificación por la cantidad de términos
→ secuencia de números finitos
La secuencia es finita cuando tiene una cantidad limitada de términos.
Ejemplos de:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ secuencia numérica infinita
La secuencia es infinita cuando tiene una cantidad ilimitada de términos.
Ejemplos de:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Calificación de comportamiento
→ Secuencia de números ascendentes
Una secuencia es ascendente cuando cualquier término es siempre menor que su sucesor en la secuencia.
Ejemplos de:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Secuencia de números descendentes
Una secuencia esta descendiendo cuando cualquier término es siempre mayor que su sucesor en la secuencia.
Ejemplos de:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ secuencia de números constante
Una secuencia es constante cuando todos los términos de la secuencia son iguales:
Ejemplos de:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Secuencia de números oscilantes
Una secuencia se balancea cuando hay términos que son más grandes y términos que son más pequeños que sus respectivos sucesores en la secuencia:
Ejemplos de:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Ley de formación de secuencias numéricas
Algunas secuencias pueden describirse mediante un fórmula que genera tus términos. Esta fórmula se conoce como ley de formación. Usamos la ley de formación para encontrar cualquier término en la secuencia cuando conocemos su comportamiento.
Ejemplo 1:
La siguiente secuencia está formada por cuadrados perfectos:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Podemos describir esta secuencia por la ley de formación:
LaNo = (n - 1) ²
n → número de término
LaNo → el término del puesto No
Con esta fórmula es posible conocer, por ejemplo, el término que ocupa la posición número 10 en la secuencia:
La10 = ( 10 – 1) ²
La10 = 9²
La10 = 81
Ejemplo 2:
Enumere los términos de la secuencia cuya ley de formación es laNo = 2n - 5.
Para enumerar, encontraremos los primeros términos en la secuencia:
1er trimestre:
LaNo = 2n - 5
La1 = 2·1 – 5
La1 = 2 – 5
La1 = – 3
2do trimestre:
LaNo = 2n - 5
La2 = 2·2 – 5
La2 = 4 – 5
La2 = – 1
3er trimestre:
LaNo = 2n - 5
La3 = 2·3 – 5
La3 = 6 – 5
La3 = 1
4to trimestre:
LaNo = 2n - 5
La4 = 2·4 – 5
La4 = 8 – 5
La4 = 3
5to trimestre:
La5 = 2n - 5
La5 = 2·5 – 5
La5 = 10 – 5
La5 = 5
Entonces la secuencia es:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Vea también: Números romanos — sistema numérico que usa letras para representar valores y cantidades
Progresión aritmética y progresión geométrica
Ellos existen casos especiales de secuencias que se conocen como progresión aritmética y progresión geométrica. Una secuencia es una progresión cuando hay una razón para un término para su sucesor.
progresión aritmética
Cuando conocemos el primer término de la secuencia y, para encontrar el segundo,añadimos el primero en un valor r y para encontrar el tercer término, agregamos el segundo a este mismo valor. ry así sucesivamente, la cadena se clasifica como progresión aritmética.
Ejemplo:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Esta es una progresión aritmética de razón igual a 4 y el primer término igual a 1.
Tenga en cuenta que para encontrar el sucesor de un número en la secuencia, simplemente agregue 4, por lo que decimos que 4 es la razón de esta progresión aritmética.
Progresión geométrica
A progresión geométrica, también hay una razón, pero en este caso, para encontrar el sucesor de un término, debemos multiplicar el término por la razón.
Ejemplo:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Esta es una progresión geométrica de razón igual a 3 y el primer término igual a 2.
Tenga en cuenta que para encontrar el sucesor de un número en esta secuencia, simplemente multiplique por 3, lo que hace que la razón de esta progresión geométrica sea 3.
ejercicios resueltossobre la secuencia numérica
Pregunta 1 - Analizando la secuencia (1, 4, 9, 16, 25,…), podemos decir que los dos siguientes números serán:
A) 35 y 46.
B) 36 y 49.
C) 30 y 41.
D) 41 y 66.
Resolución
Alternativa B.
Para encontrar los términos de la secuencia, es importante encontrar una regularidad en la secuencia, es decir, comprender su ley de ocurrencia. Tenga en cuenta que, del primer término al segundo término, sumamos 3; del segundo al tercer término, sumamos 5; del tercer al cuarto término y del cuarto al quinto término, sumamos, respectivamente, 7 y 9, por lo que la suma aumenta en dos unidades a cada término de la secuencia, es decir, en el siguiente, sumaremos 11, luego 13, luego 15, luego 17 y así sucesivamente sucesivamente. Para encontrar el sucesor de 25, agregaremos 11.
25 + 11 = 36.
Para encontrar el sucesor de 36, agregaremos 13.
36 + 13 = 49
Entonces los próximos términos serán 36 y 49.
Pregunta 2 - (Instituto AOCP) A continuación, se presenta una secuencia numérica, de modo que los elementos de esta secuencia fueron dispuestos obedeciendo una ley (lógica) de formación, donde xey son números enteros: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Observando esta secuencia y encontrando los valores de xey, siguiendo la ley de formación de la secuencia dada, es correcto afirmar que
A) x es un número mayor que 30.
B) y es un número menor que 5.
C) la suma de xey da como resultado 25.
D) el producto de x por y es 106.
E) la diferencia entre y y x, en ese orden, es un número positivo.
Resolución
Alternativa C.
Queremos encontrar el séptimo y octavo término de esta secuencia.
Analizando la ley de ocurrencia de la sucesión (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), es posible ver que existe una lógica para los términos impares (1er término, 3er término, 5to término... ). Tenga en cuenta que el tercer término es igual al primer término menos 2, ya que 24 - 2 = 22. Usando esta misma lógica, el séptimo término, representado por x, será el quinto término menos 2, es decir, x = 20 - 2 = 18.
Existe una lógica similar para los términos pares (2º término, 4º término, 6º término…): el 4º término es el 2º término menos 2, ya que 13 - 2 = 11, y así sucesivamente. Queremos el octavo término, representado por y, que será el sexto término menos 2, entonces y = 9 - 2 = 7.
Entonces tenemos x = 18 e y = 7. Analizando las alternativas, tenemos que x + y = 25, es decir, la suma de xey da como resultado 25.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm