matriz simétrica es una sede en el que cada elemento \(a_{ij}\) es igual al elemento \(a_{ji}\) para todos los valores de i y j. En consecuencia, toda matriz simétrica es igual a su transpuesta. También cabe mencionar que toda matriz simétrica es cuadrada y que la diagonal principal actúa como eje de simetría.
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Resumen sobre matriz simétrica
En una matriz simétrica, \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo i y j.
Toda matriz simétrica es cuadrada.
Toda matriz simétrica es igual a su transpuesta.
Los elementos de una matriz simétrica son simétricos respecto a la diagonal principal.
Mientras que en la matriz simétrica \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo i y j; en una matriz antisimétrica, \(a_{ij}=-a_{ji}\) para todo i y j.
¿Qué es una matriz simétrica?
Una matriz simétrica es una matriz cuadrada donde \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) por cada i y cada j. Esto significa que \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), y así sucesivamente, para todos los valores posibles de i y j. Recuerda que los posibles valores de i corresponden a las filas de la matriz y los posibles valores de j corresponden a las columnas de la matriz.
Ejemplos de matrices simétricas
\(\begin{bmatriz} 5 y 9 \\ 9 y 3 \\ \end{bmatriz}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatriz} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatriz}\)
Ejemplos de matrices no simétricas (considere \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatriz} 5 y 8 \\ 9 y 3 \\ \end{bmatriz}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Importante: Decir que una matriz no es simétrica significa demostrar que \(a_{ij}≠a_{ji}\) para al menos algunos i y j (que podemos ver comparando los ejemplos anteriores). Esto es diferente del concepto de matriz antisimétrica, que veremos más adelante.
¿Cuáles son las propiedades de la matriz simétrica?
Toda matriz simétrica es cuadrada
Tenga en cuenta que la definición de una matriz simétrica se basa en matrices cuadradas. Por tanto, toda matriz simétrica tiene el mismo número de filas que de columnas.
Toda matriz simétrica es igual a su transpuesta
Si A es una matriz, su transpuesto (\(A^T\)) se define como la matriz cuyos renglones son las columnas de A y cuyas columnas son los renglones de A. Entonces, si A es una matriz simétrica, tenemos \(A=A^T\).
En la matriz simétrica, los elementos se “reflejan” con respecto a la diagonal principal
Como \(a_{ij}=a_{ji}\) en una matriz simétrica, los elementos por encima de la diagonal principal son "reflejos" de los elementos por debajo de la diagonal (o viceversa) en relación con la diagonal, de modo que la diagonal principal actúa como un eje de simetría.
¿Cuáles son las diferencias entre la matriz simétrica y la matriz antisimétrica?
Si A es una matriz simétrica, entonces \(a_{ij}=a_{ji}\) para todo i y todo j, como estudiamos. En el caso de la matriz antisimétrica, la situación es diferente. Si B es una matriz antisimétrica, entonces \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) por cada i y cada j.
Tenga en cuenta que esto da como resultado \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), esto es, los elementos de la diagonal principal son cero. Una consecuencia de esto es que la transpuesta de una matriz antisimétrica es igual a su opuesto, es decir, si B es una matriz antisimétrica, entonces \(B^T=-B\).
Ejemplos de matrices antisimétricas
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Vea también: Matriz de identidad: la matriz en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y los elementos restantes son iguales a 0
Ejercicios resueltos de matriz simétrica
Pregunta 1
(Unicentro)
si la matriz \(\begin{bmatriz} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatriz}\) es simétrico, por lo que el valor de xy es:
A) 6
segundo) 4
C) 2
D) 1
mi) -6
Resolución:
Alternativa A
Si la matriz dada es simétrica, entonces los elementos en posiciones simétricas son iguales (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Por lo tanto, tenemos que:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Reemplazo de la primera ecuación en el segundo, concluimos que \(y=3\), pronto:
\(x=2\) Es \(xy=6\)
Pregunta 2
(UFSM) Sabiendo que la matriz \(\begin{bmatriz} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatriz}\) es igual a su transpuesta, el valor de \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
c) -1
D) 11
mi) 23
Resolución:
Alternativa C
Dado que la matriz dada es igual a su transpuesta, entonces es una matriz simétrica. Por lo tanto, los elementos en posiciones simétricas son iguales (\(a_{ij}=a_{ji}\)), o sea:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Por la primera ecuación, x=-6 o x=6. Por la tercera ecuación, obtenemos la respuesta correcta: x= -6. Por la segunda ecuación, y=11.
Pronto:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Por María Luisa Alves Rizzo
Profesora de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm