O desviacion estandar es una medida de dispersión, al igual que la varianza y el coeficiente de variación. Al determinar la desviación estándar, podemos establecer un rango alrededor de la media aritmética (división entre la suma de números en una lista y el número de números agregados) donde se concentra la mayor parte de los datos. Cuanto mayor sea el valor de la desviación estándar, mayor será la variabilidad de los datos, es decir, mayor será la desviación de la media aritmética.
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Resumen de desviación estándar
- La desviación estándar es una medida de la variabilidad.
- La notación de desviación estándar es la letra griega minúscula sigma (σ) o la letra s.
- La desviación estándar se usa para verificar la variabilidad de los datos alrededor de la media.
- La desviación estándar determina un rango \(\izquierda[\mu-\sigma,\mu+\sigma\derecha]\), donde se encuentran la mayoría de los datos.
- Para calcular la desviación estándar, debemos encontrar la raíz cuadrada de la varianza:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
¿Qué es la desviación estándar?
La desviación estándar es una medida de dispersión adoptada en Estadística. Su uso está ligado a interpretación de la varianza, que también es una medida de dispersión.
En la práctica, la desviación estándar determina un intervalo, centrado en la media aritmética, en el que se concentra la mayor parte de los datos. Así, cuanto mayor sea el valor de la desviación estándar, mayor será la irregularidad de los datos (más información heterogénea), y cuanto menor sea el valor de la desviación estándar, menor será la irregularidad de los datos (más información homogéneo).
¿Cómo calcular la desviación estándar?
Para calcular la desviación estándar de un conjunto de datos, debemos hallar la raiz cuadrada de la varianza. Entonces, la fórmula para calcular la desviación estándar es
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → datos involucrados.
- μ → media aritmética de los datos.
- N → cantidad de datos.
- \( \sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2\ =\ \left (x_1-\mu\right)^2+\left (x_2-\mu\right )^2+\izquierda (x_3-\mu\derecha)^2+...+\izquierda (x_N-\mu\derecha)^2 \)
El último elemento, que se refiere al numerador del radicando, indica la suma de cuadrados de la diferencia entre cada punto de datos y la media aritmética. tenga en cuenta que la unidad de medida para la desviación estándar es la misma unidad de medida que los datos X1,X2,X3,…,XNo.
Aunque la redacción de esta fórmula es un poco compleja, su aplicación es más sencilla y directa. A continuación se muestra un ejemplo de cómo usar esta expresión para calcular la desviación estándar.
- Ejemplo:
Durante dos semanas, se registraron las siguientes temperaturas en una ciudad:
Día laborable |
Domingo |
Segundo |
Tercero |
Cuatro |
Quinto |
Viernes |
Sábado |
semana 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
Semana 2 |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
¿En cuál de las dos semanas la temperatura se mantuvo más regular en esta ciudad?
Resolución:
Para analizar la regularidad de la temperatura, debemos comparar las desviaciones estándar de las temperaturas registradas en las semanas 1 y 2.
- Primero veamos la desviación estándar para la semana 1:
Tenga en cuenta que el promedio μ1 Es No1 ellos son
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\approx29.57\)
\(N_1=7 \) (7 días a la semana)
Además, necesitamos calcular el cuadrado de la diferencia entre cada temperatura y la temperatura promedio.
\(\izquierda (29-29.57\derecha)^2=0.3249\)
\(\izquierda (30-29.57\derecha)^2=0.1849\)
\(\izquierda (31-29.57\derecha)^2=2.0449\)
\(\izquierda (31,5-29,57\derecha)^2=3,7249\)
\(\izquierda (28-29.57\derecha)^2=2.4649\)
\(\izquierda (28,5-29,57\derecha)^2=1,1449\)
\(\izquierda (29-29.57\derecha)^2=0.3249\)
Sumando los resultados, tenemos que el numerador del radicando en la fórmula de la desviación estándar es
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Así que la desviación estándar de la semana 1 es
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \aproximadamente 1,208\ °C\)
Nota: Este resultado significa que la mayor parte de las temperaturas de la semana 1 están en el intervalo [28.36 °C, 30.77 °C], es decir, el intervalo \(\izquierda[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\derecha]\).
- Ahora veamos la desviación estándar de la semana 2:
Siguiendo el mismo razonamiento, tenemos
\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)
\(N_2=7\)
\(\izquierda (28.5-28.5\derecha)^2=0\)
\(\izquierda (27-28.5\derecha)^2=2.25\)
\(\izquierda (28-28,5\derecha)^2=0,25\)
\(\izquierda (29-28,5\derecha)^2=0,25\)
\(\izquierda (30-28,5\derecha)^2=2,25\)
\(\izquierda (28-28,5\derecha)^2=0,25\)
\(\izquierda (29-28,5\derecha)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Así que la desviación estándar de la semana 2 es
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\left (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \aproximadamente 0,89\ °C\)
Este resultado significa que la mayoría de las temperaturas de la semana 2 están en el rango \(\izquierda[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\derecha]\), es decir, el rango \(\izquierda[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\derecha]\).
darse cuenta de que \(\sigma_2, es decir, la desviación estándar de la semana 2 es menor que la desviación estándar de la semana 1. Por lo tanto, la semana 2 presentó temperaturas más regulares que la semana 1.
¿Cuáles son los tipos de desviación estándar?
Los tipos de desviación estándar están relacionados con el tipo de organización de los datos.. En el ejemplo anterior, trabajamos con la desviación estándar de datos no agrupados. Para calcular la desviación estándar de un conjunto de datos organizados de otro modo (datos agrupados, por ejemplo), deberá ajustar la fórmula.
¿Cuáles son las diferencias entre la desviación estándar y la varianza?
la desviación estándar es la raiz cuadrada de la varianza:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\left (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Cuando se usa la varianza para determinar la variabilidad de un conjunto de datos, el resultado tiene la unidad de datos al cuadrado, lo que dificulta su análisis. Por lo tanto, la desviación estándar, que tiene la misma unidad que los datos, es una posible herramienta para interpretar el resultado de la varianza.
Sepa mas:Frecuencia absoluta: la cantidad de veces que apareció la misma respuesta durante la recopilación de datos
Ejercicios resueltos de desviación estándar
Pregunta 1
(FGV) En una clase de 10 alumnos, las calificaciones de los alumnos en una evaluación fueron:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
La desviación estándar de esta lista es aproximadamente
A) 0,8.
B) 0,9.
c) 1.1.
D) 1.3.
mi) 1.5.
Resolución:
alternativa c
Según el comunicado, norte = 10. El promedio de esta lista es
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Además,
\(\izquierda (6-8\derecha)^2=4\)
\(\izquierda (7-8\derecha)^2=1\)
\(\izquierda (8-8\derecha)^2=0\)
\(\izquierda (9-8\derecha)^2=1\)
\(\izquierda (10-8\derecha)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Entonces la desviación estándar de esta lista es
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\aproximadamente 1,1\)
Pregunta 2
Considere las declaraciones a continuación y califique cada una como V (Verdadero) o F (Falso).
i. La raíz cuadrada de la varianza es la desviación estándar.
II. La desviación estándar no tiene relación con la media aritmética.
tercero La varianza y la desviación estándar son ejemplos de medidas de dispersión.
El orden correcto, de arriba a abajo, es
A) V-V-F
B) F-F-V
C) F-V-F
D) F-F-F
E) V-F-V
Resolución:
E alternativa.
i. La raíz cuadrada de la varianza es la desviación estándar. (verdadero)
II. La desviación estándar no tiene relación con la media aritmética. (FALSO)
La desviación estándar indica un intervalo alrededor de la media aritmética en el que se encuentran la mayoría de los datos.
tercero La varianza y la desviación estándar son ejemplos de medidas de dispersión. (verdadero)
Por María Luisa Alves Rizzo
Profesora de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm