Matrices: ejercicios comentados y resueltos

Matrix es una tabla formada por números reales, dispuestos en filas y columnas. Los números que aparecen en la matriz se denominan elementos.

Aprovecha las preguntas del examen de acceso resueltas y comentadas para despejar todas tus dudas sobre este contenido.

Problemas con el examen de ingreso resueltos

1) Unicamp - 2018

Sean ayb números reales tales que la matriz A = Abra los soportes fila de la mesa con 1 2 filas con 0 1 extremo de la mesa Cierre los soportes satisface la ecuación A2= aA + bI, donde I es la matriz identidad de orden 2. Entonces el producto ab es igual a

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Para averiguar el valor del producto a.b, primero necesitamos conocer el valor de ay b. Así que consideremos la ecuación dada en el problema.

Para resolver la ecuación, calculemos el valor de A2, que se realiza multiplicando la matriz A por sí misma, es decir:

Un cuadrado igual a la fila de la tabla con corchetes abiertos con 1 2 filas con 0 1 al final de la tabla cierra los corchetes. Abra los soportes fila de la mesa con 1 2 filas con 0 1 extremo de la mesa Cierre los soportes

Esta operación se realiza multiplicando las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz, como se muestra a continuación:

De esta forma la matriz A2 es igual a:

Un cuadrado es igual a la fila de la tabla con corchetes abiertos con 1 4 filas con 0 1 al final de la tabla cerrar corchetes

Considerando el valor que acabamos de encontrar y recordando que en la matriz identidad los elementos de la diagonal principal son iguales a 1 y los demás elementos son iguales a 0, la ecuación será:

Abra los corchetes fila de la tabla con 1 4 filas con 0 1 extremo de la mesa cierre los corchetes igual a a. abrir corchetes fila de la mesa con 1 2 fila con 0 1 extremo de la mesa cerrar corchetes más b. Abra la fila de la mesa con corchetes con 1 0 fila con 0 1 al final de la mesa Cerrar corchetes

Ahora tenemos que multiplicar la matriz A por el número ay la matriz identidad por el número b.

Recuerde que para multiplicar un número por una matriz, multiplicamos el número por cada elemento de la matriz.

Así, nuestra igualdad será igual a:

corchetes abiertos fila de la tabla con 1 4 fila con 0 1 extremo de la mesa cerrar corchetes igual a corchetes abiertos fila de la tabla con celda con 2 fin de celda fila con 0 fin de tabla cerrar corchetes más corchetes abiertos fila de tabla con b 0 fila con 0 b fin de tabla cerrar soportes

Sumando las dos matrices, tenemos:

corchetes abiertos fila de la tabla con 1 4 filas con 0 1 final de la mesa corchetes cerrados igual a corchetes abiertos fila de la tabla con celda con un extremo más b de la celda con un extremo 2 de la fila de celda con una celda 0 con un extremo más b del extremo de la celda de la tabla cerrar soportes

Dos matrices son iguales cuando todos los elementos correspondientes son iguales. De esta forma, podemos escribir el siguiente sistema:

teclas abiertas atributos de la tabla alineación de la columna atributos del extremo izquierdo fila con celda con un más b igual a 1 extremo de la celda fila con celda con 2 a igual a 4 extremo de la celda fin de la tabla cerrar

Aislando a en la segunda ecuación:

2 a 4 doble flecha derecha igual a 4 sobre 2 doble flecha derecha igual a 2

Sustituyendo el valor encontrado para a en la primera ecuación, encontramos el valor de b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Así, el producto vendrá dado por:

La. b = - 1. 2
La. b = - 2

Alternativa: a) −2.

2) Unesp - 2016

Un punto P, con coordenadas (x, y) del plano cartesiano ortogonal, está representado por la matriz de columnas. Abra la fila de la mesa con corchetes con x fila con el extremo y de la mesa Cerrar corchetes, así como la matriz de columnas Abra la fila de la mesa con corchetes con x fila con el extremo y de la mesa Cerrar corchetes representa, en el plano cartesiano ortogonal, el punto P de coordenadas (x, y). Por tanto, el resultado de la multiplicación de matrices abrir corchetes fila de tabla con 0 celda con menos 1 final de celda fila con 1 0 final de tabla cierra corchetes. Abra la fila de la mesa con corchetes con x fila con el extremo y de la mesa Cerrar corchetes es una matriz de columna que, en el plano cartesiano ortogonal, necesariamente representa un punto que es

a) una rotación de 180º de P en el sentido de las agujas del reloj y con el centro en (0, 0).
b) una rotación de P a través de 90 ° en sentido antihorario, con el centro en (0, 0).
c) simétrico de P con respecto al eje x horizontal.
d) simétrico de P con respecto al eje y vertical.
e) una rotación de P a través de 90º en el sentido de las agujas del reloj y con el centro en (0, 0).

El punto P está representado por una matriz, de modo que la abscisa (x) está indicada por el elemento a.11 y la ordenada (y) por el elemento a21 de la matriz.

Para encontrar la nueva posición del punto P, debemos resolver la multiplicación de las matrices presentadas y el resultado será:

Matrices de la pregunta 2016 de la Unesp

El resultado representa la nueva coordenada del punto P, es decir, la abscisa es igual a -y y la ordenada es igual a x.

Para identificar la transformación que sufre la posición del punto P, representemos la situación en el plano cartesiano, como se indica a continuación:

Pregunta de matrices de la Unesp 2016

Por tanto, el punto P, que en un principio estaba situado en el 1er cuadrante (abscisas positivas y ordenadas), se desplazó al 2º cuadrante (abscisas negativas y ordenadas positivas).

Al moverse a esta nueva posición, el punto se rotó en sentido antihorario, como se representa en la imagen de arriba por la flecha roja.

Aún necesitamos identificar cuál fue el valor del ángulo de rotación.

Conectando la posición original del punto P al centro del eje cartesiano y haciendo lo mismo en relación a su nueva posición P ', tenemos la siguiente situación:

Pregunta de matrices de la Unesp 2016

Tenga en cuenta que los dos triángulos indicados en la figura son congruentes, es decir, tienen las mismas medidas. De esta forma, sus ángulos también son los mismos.

Además, los ángulos α y θ son complementarios, ya que la suma de los ángulos internos de los triángulos es igual a 180º y dado que el triángulo es rectángulo, la suma de estos dos ángulos será igual a 90º.

Así, el ángulo de rotación del punto, indicado en la figura por β, solo puede ser igual a 90º.

Alternativa: b) una rotación de 90 ° de P en sentido antihorario, con el centro en (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Dado que a es un número real, considere la matriz A = abrir la fila de la tabla entre paréntesis con 1 fila con 0 celda con menos 1 final de celda al final de la tabla cerrar paréntesis. Entonces el2017 es igual a
La) abrir la fila de la tabla entre paréntesis con 1 0 fila con 0 1 al final de la tabla cerrar paréntesis
B) abrir la fila de la tabla entre paréntesis con 1 fila con 0 celda con menos 1 final de celda al final de la tabla cerrar paréntesis
C) abrir paréntesis fila de la tabla con 1 1 fila con 1 1 final de la tabla cerrar paréntesis
D) fila de tabla de paréntesis abierta con 1 celda con el poder de 2017 final de fila de celda con 0 celda con menos 1 final de celda final de tabla cerrar paréntesis

Primero, intentemos encontrar un patrón para las potencias, ya que es mucho trabajo multiplicar la matriz A por sí misma 2017 veces.

Recordando que en la multiplicación de matrices, cada elemento se encuentra sumando los resultados de multiplicar los elementos en la fila de uno por los elementos en la columna del otro.

Empecemos calculando A2:

abrir la fila de la tabla entre paréntesis con 1 fila con 0 celda con menos 1 final de celda al final de la tabla cierra el espacio entre paréntesis. el espacio abre la fila de la tabla entre paréntesis con 1 fila con 0 celda con menos 1 fin de celda fin de tabla cerrar paréntesis igual a la fila de la tabla de paréntesis abierta con celda con 1.1 más a.0 final de celda celda con espacio espacio 1. el más a. paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho final de fila de celda a celda con 0.1 más 0. paréntesis izquierdo menos 1 celda del paréntesis derecho celda final con 0. más paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho. paréntesis izquierdo menos 1 paréntesis derecho fin de celda fin de tabla cierra paréntesis igual a paréntesis abierto fila de tabla con 1 0 fila con 0 1 fin de tabla cerrar paréntesis

El resultado fue la matriz identidad, y cuando multiplicamos cualquier matriz por la matriz identidad, el resultado será la matriz misma.

Por tanto, el valor de A3 será igual a la propia matriz A, ya que A3 = A2. LA.

Este resultado se repetirá, es decir, cuando el exponente sea par, el resultado será la matriz identidad y cuando sea impar, será la propia matriz A.

Como 2017 es impar, el resultado será igual a la matriz A.

Alternativa: b) abrir la fila de la tabla entre paréntesis con 1 fila con 0 celda con menos 1 final de celda al final de la tabla cerrar paréntesis

4) UFSM - 2011

Edición 2011 de matrices UFSM

El diagrama dado representa la cadena alimentaria simplificada de un ecosistema dado. Las flechas indican la especie de la que se alimenta la otra especie. Atribuyéndole un valor de 1 cuando una especie se alimenta de otra y de cero, cuando ocurre lo contrario, tenemos la siguiente tabla:

matrices de emisión de ufsm 2011

La matriz A = (aij)4x4, asociado a la tabla, tiene la siguiente ley de formación:

paréntesis derecho un espacio con subíndice i j final del subíndice igual a teclas abiertas alineación de la columna de atributos de la tabla extremo izquierdo de la fila de atributos con celda con coma 0 s espacio ei espacio menor o igual que j fin de la fila de celda con celda con 1 coma s espacio ei espacio mayor que j fin de celda fin de tabla cierra b espacio entre paréntesis derecho a con i j subíndice final del subíndice igual a teclas abiertas alineación de la columna de atributos de la tabla extremo izquierdo de la fila de atributos con celda con 0 espacio de coma y espacio i igual a j el final de la fila de la celda con la celda con 1 espacio de coma sy el espacio i no es igual j el final de la celda el final de la tabla se cierra c espacio entre paréntesis derecho a con i j subíndice final del subíndice igual a abre teclas Atributos de la tabla Alineación de la columna Atributos del extremo izquierdo Fila con celda con 0 Comas de espacio ei Espacio mayor o igual que J Fin de celda Fila con celda con 1 coma s espacio yi espacio menor que j final de celda final de tabla cierre d paréntesis derecho un espacio con i j final de subíndice del subíndice igual a los atributos de teclas abiertas de alineación de la columna de la tabla extremo izquierdo de la fila de atributos con celda con 0 espacio de coma y espacio i no es igual j final de fila de celda con celda con 1 espacio de coma y espacio i igual aj final de celda final de tabla se cierra y paréntesis derecho un espacio con i j subíndice final de subíndice es igual a teclas abiertas atributos de tabla alineación de columna extremo izquierdo de los atributos fila con celda con 0 comas y espacio i menor que j final de celda fila con celda con 1 coma s espacio ei espacio mayor que j final de celda fin de la mesa se cierra

Dado que el número de fila está indicado por i y el número de columna indicado por j, y al observar la tabla, notamos que cuando i es igual a j, oi es mayor que j, el resultado es cero.

Las posiciones ocupadas por 1 son aquellas en las que el número de columna es mayor que el número de línea.

Alternativa: c) a con i j subíndice final del subíndice igual a teclas abiertas alineación de la columna de atributos de la tabla extremo izquierdo de la fila de atributos con celda con 0 el espacio de la coma y el espacio i mayor o igual que el final de la fila de celda j con la celda con 1 espacio de coma y el espacio i menor que el final de la celda j final de la tabla cierra

5) Unesp - 2014

Considere la ecuación matricial A + BX = X + 2C, cuya incógnita es la matriz X y todas las matrices son cuadradas de orden n. La condición necesaria y suficiente para que esta ecuación tenga una única solución es que:

a) B - I ≠ O, donde I es la matriz identidad de orden n y O es la matriz nula de orden n.
b) B es invertible.
c) B ≠ O, donde O es la matriz nula de orden n.
d) B - I es invertible, donde I es la matriz identidad de orden n.
e) A y C son invertibles.

Para resolver la ecuación matricial, necesitamos aislar la X en un lado del signo igual. Para hacer esto, restemos inicialmente la matriz A en ambos lados.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Ahora, restemos la X, también en ambos lados. En este caso, la ecuación será:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Dado que I es la matriz identidad, cuando multiplicamos una matriz por la identidad, el resultado es la matriz misma.

Entonces, para aislar X debemos ahora multiplicar ambos lados del signo igual por la matriz inversa de (B-I), es decir:

X. (B - I). (B - I) - 1 = (B - I) - 1. (2C - A)

Recordando que cuando una matriz es invertible, el producto de la matriz por la inversa es igual a la matriz identidad.
X = (B - I) - 1. (2C - A)

Por tanto, la ecuación tendrá solución cuando B - I sea invertible.

Alternativa: d) B - I es invertible, donde I es la matriz identidad de orden n.

6) Enem - 2012

Un estudiante registró las calificaciones bimensuales de algunas de sus materias en una tabla. Señaló que las entradas numéricas en la tabla formaban una matriz de 4x4 y que podía calcular promedios anuales para estas disciplinas utilizando el producto de matrices. Todas las pruebas tenían el mismo peso, y la tabla que obtuvo se muestra a continuación.

Tabla en Matrices de 2012

Para obtener estos promedios, multiplicó la matriz obtenida de la tabla por

espacio entre paréntesis a la derecha corchetes abiertos fila de la tabla con celda con 1 mitad del extremo de la celda celda con 1 mitad del extremo de la celda celda con 1 mitad del extremo de la celda celda con 1 mitad del extremo de celda al final de la tabla cierra los corchetes b espacio entre paréntesis a la derecha corchetes abiertos fila de la tabla con 1 cuarta celda al final de la celda 1 cuarta celda al final de la celda celda con 1 cuarto extremo de celda celda con 1 cuarto extremo de celda fin de tabla cerrar corchetes c espacio entre paréntesis derecho abrir corchetes tabla 1 línea 1 línea 1 línea 1 línea con 1 extremo de la tabla cerrar corchetes d espacio entre paréntesis a la derecha corchetes abiertos fila de tabla con celda con 1 medio extremo de fila de celda con celda con 1 medio extremo de fila de celda con celda con 1 mitad del final de la celda fila con celda con 1 mitad del extremo de la celda extremo de la tabla cerrar los corchetes y el espacio entre paréntesis derecho abrir la fila de la tabla con la celda con 1 cuarto extremo de la fila de celdas con celda con 1/4 de final de la fila de celdas con celda con 1/4 de final de fila de celdas con celda con 1/4 de final de celda al final de la tabla cerrar soportes

La media aritmética se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el número de valores.

Por lo tanto, el alumno debe sumar las calificaciones de los 4 bimestres y dividir el resultado por 4 o multiplicar cada calificación por 1/4 y sumar todos los resultados.

Usando matrices, podemos lograr el mismo resultado haciendo una multiplicación de matrices.

Sin embargo, debemos recordar que solo es posible multiplicar dos matrices cuando el número de columnas en una es igual al número de filas en la otra.

Como la matriz de notas tiene 4 columnas, la matriz que vamos a multiplicar debe tener 4 filas. Por lo tanto, debemos multiplicar por la matriz de columnas:

Abra la fila de la tabla de corchetes con la celda 1 cuarto extremo de la celda fila con la celda 1 cuarto extremo de la celda fila con celda con 1/4 de final de celda fila con celda con 1/4 de final de celda final de tabla cerrar soportes

Alternativa: y

7) Fuvest - 2012

Considere la matriz Una fila de tabla igual a corchetes abiertos con celda con 2 más 1 extremo de celda fila con celda con menos 1 extremo de celda celda con más 1 extremo de celda fin de tabla cerrar corchetes, en que La es un número real. Sabiendo que A admite inversa A-1 cuya primera columna es abrir corchetes fila de tabla con celda con menos 2 final de celda fila con celda con menos 1 final de celda final de tabla cerrar corchetes, la suma de los elementos de la diagonal principal de A-1 es igual a

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Multiplicar una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad, por lo que podemos representar la situación mediante la siguiente operación:

abrir corchetes fila de tabla con celda más 1 extremo de celda fila con celda menos 1 extremo de celda celda más 1 extremo de celda final de tabla cierra corchetes. espacio abierto entre corchetes fila de tabla con celda con menos 2 final de celda x fila con celda menos 1 final de celda y final de tabla cierra corchetes igual a abrir corchetes fila de tabla con 1 0 fila con 0 1 final de tabla cerrar soportes

Resolviendo la multiplicación de la segunda fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda matriz, tenemos la siguiente ecuación:

(a 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2do2 - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2do2 - 4to = 0
2do (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Sustituyendo el valor de a en la matriz, tenemos:

Abra la fila de la tabla con corchetes con 2 celdas con 2.2 más 1 extremo de la celda fila con celda con 2 menos 1 extremo de celda con 2 más 1 extremo de la celda al final de la tabla cierra los corchetes igual a los corchetes abiertos la fila de la tabla con 2 5 filas con 1 3 al final de la tabla cerrar los corchetes

Ahora que conocemos la matriz, calculemos su determinante:

d e t espacio Un espacio igual a la línea de la mesa de barra vertical abierta con 2 5 líneas con 1 3 extremo de la mesa cerca de la barra vertical igual a 2,3 espacio menos 5.1 igual a 1 S y n d o espacio de coma A elevado a la potencia de menos 1 final de exponencial igual al numerador 1 sobre el denominador dyt espacio A final de fracción. Abra la fila de la tabla entre corchetes con 3 celdas con menos 5 al final de la celda fila con la celda con menos 1 extremo de la celda 2 al final de la tabla cierre los corchetes A a la potencia menos 1 final de exponencial igual a abrir la fila de la tabla entre corchetes con 3 celdas menos 5 fin de la fila de celdas con celda menos 1 fin de la celda 2 fin de la tabla cerrar soportes

Por tanto, la suma de la diagonal principal será igual a 5.

Alternativa: a) 5

Para obtener más información, consulte también:

  • Matrices
  • Determinantes
  • Regla de Sarrus
  • Teorema de Laplace
  • Matriz transpuesta

10 ejercicios sobre el nazismo (con comentarios)

El nazismo en Alemania es un tema recurrente en los principales exámenes de ingreso en Brasil.Pre...

read more

Preguntas sobre Civilizaciones Precolombinas con Respuestas y Comentarios

Pon a prueba tus conocimientos sobre los pueblos precolombinos.¡A continuación hay 12 preguntas s...

read more

Ejercicios de pronombres personales (con respuestas comentadas)

Haz los ejercicios y practica lo que ya has aprendido sobre los pronombres personales. En caso de...

read more