Estudia aritmética y progresión geométrica con ejercicios resueltos y comentados paso a paso.
Ejercicio 1
En un AP, a2 = 5 y a7 = 15. Encuentra a4 y suma los primeros cinco términos de este AP.
Respuesta correcta: a4 = 9 y S = 35.
Resolución
1er paso: determinar el motivo y a4.
Para salir de a2 y llegar a a7, sumamos 5r, ya que es la "distancia" entre 7 y 2.
El término a4 es el término a2 más 2r, porque para ir de a2 a a4, "avanzamos" 2r. Pronto,
Por lo tanto, el cuarto término de AP es 9.
2º paso: determinar la suma de los primeros cinco términos de este AP.
La suma de los términos de un AP viene dada por:
a1 = a2 - r (porque retrocedemos una posición en PA, comenzando desde a2)
a1 = 5 - 2 = 3
a5 = a7 - 2r (porque retrocedemos dos posiciones en PA, comenzando desde a7).
a5 = 15 - 2.2 = 15 - 4 = 11
Ejercicio 2
(Aeronáutica 2021) Un profesor escribió una progresión aritmética creciente de 8 términos comenzando con el número 3 y compuesta solo de números naturales. Entonces notó que los términos segundo, cuarto y octavo de esta progresión aritmética formaban, en ese orden, una progresión geométrica. El profesor también observó que la suma de los términos de esta progresión geométrica era igual a
a) 42
segundo) 36
c) 18
re) 9
Respuesta: a) 42
Por AP, los términos que forman un PG son a2, a4 y a8:
La suma de los tres términos es:
Para determinar r, usamos la media geométrica:
Cuadrando ambos lados
Elevando al cuadrado el primer término y distribuyendo el segundo término:
Sustituyendo r en la ecuación I, tenemos:
Por lo tanto, la suma de los primeros tres términos es igual a 42.
Ejercicio 3
(PM-SP 2019) En 2015, una importante empresa petrolera inició el proceso de reutilización del agua utilizada para enfriar las partes que produjo y realizó una proyección de un incremento paulatino, en progresión aritmética, hasta el año 2050, del volumen de agua que será reutilizada, año a año año.
La tabla muestra los volúmenes de agua reutilizados en los primeros 3 años:
Sea An el término general de la progresión aritmética que indica el volumen de agua reutilizada, en millones de m³, con n = 1, que representa el volumen de agua reutilizada en el año 2016, n = 2, que representa el volumen de agua reutilizada en el año 2017, y así sucesivamente sucesivamente.
En estas condiciones, uno tiene que
a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0.5n - 23.
Respuesta correcta: c) An = 0,5n + 23.
objetivo
Determine An en función de n.
Resolución
La razón de la progresión aritmética es 0,5, porque 24 - 23,5 = 0,5.
a1 = 23,5
El término general de un AP viene dado por:
Sustituyendo los valores:
Ejercicio 4
(CEDERJ 2021) La sucesión (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) es una progresión aritmética de razón 6. El cuarto término de esta progresión es
a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.
Respuesta correcta: a) 31
Resolución
El cuarto término es a3 + r, así:
Sustituyendo los valores encontrados:
Ejercicio 5
(Enem 2021) En Brasil, el tiempo requerido por un estudiante para completar su formación hasta la graduación en un curso superior, considerando 9 años de primaria, 3 años de bachillerato y 4 años de graduación (tiempo promedio), son 16 años. Sin embargo, la realidad de los brasileños muestra que el tiempo medio de estudio de las personas mayores de 14 años todavía es muy pequeño, como se muestra en la tabla.
Considere que el aumento del tiempo de estudio, en cada período, para estas personas, se mantiene constante hasta el año 2050, y que se pretende alcanzar el nivel del 70% del tiempo requerido para obtener el curso superior impartido previamente.
El año en el que el tiempo medio de estudio de los mayores de 14 años alcance el porcentaje deseado será
a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.
Respuesta correcta: d) 2035.
1ra parte: determinar el 70% de 16.
2ª parte: determinar después de cuántos períodos se alcanzarán los 11,2 años de estudio.
La secuencia de tiempo del estudio es una progresión aritmética (AP) con una relación de 0,6.
r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6
a1 = 5.2
La cantidad 11,2 años se alcanzará en:
La cuantía de 11,2 se alcanzará en la 11ª legislatura del PA.
3ra parte: determinar cuál es el 11° término del PA de los años.
La relación es a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 años
Conclusión
El 70% de los 16 años necesarios para completar un título universitario se alcanzará en 2035.
Ejercicio 6
(Cuerpo de Bomberos 2021) Un avión y un camión de bomberos tienen depósitos de agua con capacidades de 12.000 y 8.000 litros de agua, respectivamente. El camión tiene una bomba de 2,5 GPM, lo que significa que es capaz de bombear 2,5 galones por minuto.
A partir de esta situación hipotética, juzga el siguiente ítem, considerando que 1 galón equivale a 3,8 litros de agua.
Si un tanque de agua tiene una capacidad de X mil litros, de manera que 8, X y 12 están en progresión geométrica, en ese orden, entonces la capacidad de ese tanque es menor a 10 mil litros.
Correcto
Incorrecto
Respuesta correcta: correcta
objetivo
Compruebe si X < 10.
Resolución
En una progresión geométrica, PG, el término medio es la media geométrica entre los extremos.
De hecho, la raíz cuadrada aproximada de 96 es 9,79. Concluimos que la capacidad X del tanque es menor a 10 mil litros.
Ejercicio 7
(Aeronáutica 2021) Sé el P.G. (24, 36, 54, ...). Al sumar los términos 5° y 6° de esta G.P. ha habido
a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4
Respuesta correcta: c) 1215/4
objetivo
Añadir a5 + a6
Resolución
Paso 1: Determinar la razón q.
La razón de PG es:
Paso 2: Determinar a5
a4 = a3. q
a5 = a4. q
Sustituyendo a4 en a5:
Paso 3: Determinar a6
a6 = a5. q
Sustituyendo a5 en a6:
Paso 4: Agrega a5 + a6 reemplazando los valores numéricos.
Poniendo 54 en evidencia:
Ejercicio 8
(UERJ 2019) Los triángulos A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, ilustrados a continuación, tienen perímetros p1, p2, p3, respectivamente. Los vértices de estos triángulos, a partir del segundo, son los puntos medios de los lados del triángulo anterior.
Admita eso .
Así, (p1, p2, p3) define la siguiente progresión:
a) razón aritmética = – 8
b) razón aritmética = – 6
c) razón geométrica = 1/2
d) razón geométrica = 1/4
Respuesta correcta: c) razón geométrica = 1/2
Resolución
Paso 1: definir los perímetros p1, p2 y p3.
Por paralelismo comprobamos que los lados del triángulo interior son la mitad del inmediatamente exterior.
Por ejemplo, B2A2 = A1C2
Así, p2 es la mitad de p1, así como p3 es la mitad de p2. Tenemos:
Paso 2: Arma la progresión y clasifícala.
Resulta que para determinar p2, 18 se multiplica por 1/2.
Además, 9 multiplicado por 1/2 es 4,5.
Conclusión
Comprobamos que la progresión es geométrica, con una razón de 1/2.
Ejercicio 9
(Enem 2021) La gráfica informa la producción registrada por una industria en los meses de enero, marzo y abril.
Por problemas logísticos no se realizó la encuesta de producción del mes de febrero. Sin embargo, la información de los otros tres meses sugiere que la producción en este cuatrimestre creció exponencialmente, como lo muestra la curva de tendencia trazada en el gráfico.
Asumiendo que el crecimiento en este periodo fue exponencial, se puede inferir que la producción de esta industria en el mes de febrero, en miles de unidades, fue
a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.
Respuesta correcta: c) 240.
Resolución
El término general de un PG es una exponencial a en función de n, donde a1 y q son números constantes.
a1 = 120
La relación q, se puede determinar por a4 / a3, así:
La cantidad de febrero es a2, que se obtiene al multiplicar a1 por q.
Por lo tanto, la producción en el mes de febrero fue de 240.
Estudia más con:
- Ejercicios de progresión geométrica
- ejercicios de progresión aritmética
Vea también:
- PA y PG: resumen, fórmulas y ejercicios
- Progresión geométrica
- progresión aritmética
