Un ecuación polinomial se caracteriza por tener una polinomio igual a cero. Puede caracterizarse por el grado del polinomio, y cuanto mayor es este grado, mayor es el grado de dificultad para encontrar su solución o raíz.
También es importante, en este contexto, comprender cuál es el teorema fundamental del álgebra, que establece que cada ecuación polinomial tiene al menos una solución compleja, en otras palabras: una ecuación de grado uno tendrá al menos una solución, una ecuación de grado dos tendrá al menos dos soluciones, y así sucesivamente.
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¿Qué es una ecuación polinomial?
Una ecuación polinomial se caracteriza por tener un polinomio igual a cero, por lo tanto, toda expresión de tipo P (x) = 0 es una ecuación polinomial, donde P (x) es un polinomio. A continuación se muestra el caso general de una ecuación polinomial y algunos ejemplos.
Considera elno, an -1, a n -2, …, Los1, a0 y x numeros reales, yn es un número entero positivo, la siguiente expresión es una ecuación polinomial de grado n.
- Ejemplo
Las siguientes ecuaciones son polinomios.
a) 3 veces4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5 veces2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7 veces3 - X2 + 4x + 3 = 0
Al igual que los polinomios, las ecuaciones polinomiales tienen su grado. Para determinar el grado de una ecuación polinomial, simplemente encuentre la potencia más alta cuyo coeficiente sea diferente de cero. Por tanto, las ecuaciones de los ítems anteriores son, respectivamente:
a) La ecuación es de cuarto grado:3X4+ 4x2 – 1 = 0.
b) La ecuación es de segundo grado:5X2 – 3 = 0.
c) La ecuación es de primer grado:6X – 1 = 0.
d) La ecuación es del tercer grado: 7X3- X2 + 4x + 3 = 0.
¿Cómo resolver una ecuación polinomial?
El método para resolver una ecuación polinomial depende de su grado. Cuanto mayor sea el grado de una ecuación, más difícil será resolverla. En este artículo, mostraremos el método de resolución de ecuaciones polinomiales de la primer grado, segundo grado y bisquare.
Ecuación polinomial de primer grado
Una ecuación polinomial de primer grado se describe mediante un polinomio de grado 1. Entonces, podemos escribir una ecuación de primer grado, en general, como sigue.
Considere dos números reales los y B con ≠ 0, la siguiente expresión es una ecuación polinomial de primer grado:
ax + b = 0
Para resolver esta ecuación, debemos usar la principio de equivalencia, es decir, todo lo que se opera en un lado de la igualdad también debe operar en el otro lado. Para determinar la solución de una ecuación de primer grado, debemos aislar lo desconocido. Para ello, el primer paso es eliminar la B en el lado izquierdo de la igualdad, y luego sustraerremos b en ambos lados de la igualdad.
hacha + b - B = 0 - B
ax = - b
Tenga en cuenta que el valor de la desconocida x no está aislado, el coeficiente a debe eliminarse del lado izquierdo de la igualdad, y para eso, dividamos ambos lados por los.
- Ejemplo
Resuelve la ecuación 5x + 25 = 0.
Para resolver el problema, debemos utilizar el principio de equivalencia. Para facilitar el proceso, omitiremos la escritura de la operación en el lado izquierdo de la igualdad, siendo Equivalente entonces a decir que vamos a “pasar” el número al otro lado, cambiando el signo (operación inversa).
Aprenda más sobre cómo resolver este tipo de ecuación accediendo a nuestro texto: Ecuación de primer grado con una incógnita.
Ecuación polinomial de segundo grado
Una ecuación polinomial de segundo grado tiene la característica de una polinomio de grado dos. Entonces, considere los números reales a, byc con a ≠ 0. Una ecuación de segundo grado viene dada por:
hacha2 + bx + c = 0
Su solución se puede determinar utilizando el método de bhaskara o factorizando. Si quieres saber más sobre ecuaciones de este tipo, lee: Eqacción de ssegundo gramorau.
→ Método Bhaskara
Usando el método de Bhaskara, sus raíces vienen dadas por la siguiente fórmula:
- Ejemplo
Encuentra la solución de la ecuación x2 - 3x + 2 = 0.
Tenga en cuenta que los coeficientes de la ecuación son, respectivamente, a = 1, b = - 3 y c = 2. Reemplazando estos valores en la fórmula, tenemos que:
→ Factorización
Ver que es posible factorizar la expresión x2 - 3x + 2 = 0 usando la idea de factorización polinomial.
X2 - 3x + 2 = 0
(x - 2) · (x - 1) = 0
Observe ahora que tenemos un producto igual a cero, y un producto es igual a cero solo si uno de los factores es igual a cero, por lo que tenemos que:
x - 2 = 0
x = 2
o
x - 1 = 0
x = 1
Vea que encontramos la solución a la ecuación usando dos métodos diferentes.
ecuación de dos cuadrados
LOS ecuación bisquare es un caso particular de una ecuación polinomial de cuarto grado, normalmente una ecuación de cuarto grado se escribiría en la forma:
hacha4 + bx3 + caja2 + dx + e = 0
donde los numeros a B C D y y son reales con ≠ 0. Una ecuación de cuarto grado se considera biscuadrada cuando los coeficientes b = d = 0, es decir, la ecuación tiene la forma:
hacha4 + caja2 + y = 0
Vea, en el siguiente ejemplo, cómo resolver esta ecuación.
- Ejemplo
Resuelve la ecuación x4 - 10 veces2 + 9 = 0.
Para resolver la ecuación, usaremos el siguiente cambio desconocido, y siempre que la ecuación sea biscuadrada, haremos ese cambio.
X2 = p
A partir de la ecuación de dos cuadrados, observe que x4 = (x2)2 y por tanto tenemos que:
X4 - 10 veces2 + 9 = 0
(X2)2 – 10X2 + 9 = 0
por2 - 10p + 9 = 0
Vea que ahora tenemos una ecuación polinomial de segundo grado y podemos usar el método de Bhaskara, así:
Sin embargo, debemos recordar que, al inicio del ejercicio, se realizó un cambio desconocido, por lo que debemos aplicar el valor encontrado en la sustitución.
X2 = p
Para p = 9 tenemos que:
X2 = 9
x ’= 3
o
x ’’ = - 3
Para p = 1
X2 = 1
x ’= 1
o
x ’’ = - 1
Por lo tanto, el conjunto de solución de la ecuación biscuadrada es:
S = {3, –3, 1, –1}
Lea también: Dispositivo práctico de Briot-Ruffini: división de polinomios
Teorema fundamental del álgebra (TFA)
El teorema fundamental del álgebra (TFA), probado por Gauss en 1799, establece que cada ecuación polinomial como sigue tiene al menos una raíz compleja.
La raíz de una ecuación polinomial es su solución, es decir, el valor desconocido es lo que hace que la igualdad sea verdadera. Por ejemplo, una ecuación de primer grado ya tiene una raíz determinada, al igual que una ecuación de segundo grado, que tiene al menos dos raíces, y una biscuadrada, que tiene al menos cuatro raíces.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Determinar el valor de x que hace que la igualdad sea verdadera.
2x - 8 = 3x + 7
Resolución
Nótese que para resolver la ecuación es necesario organizarla, es decir, dejar todas las incógnitas en el lado izquierdo de la igualdad.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
- x = 15
Por el principio de equivalencia, podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por el mismo número, y como queremos encontrar el valor de x, multiplicaremos ambos lados por –1.
(–1)- x = 15(–1)
x = - 15
Pregunta 2 - Marcos tiene R $ 20 más que João. Juntos logran comprar dos pares de zapatillas, a un costo de R $ 80 cada par y sin dinero. ¿Cuántos reales tiene John?
Resolución
Suponga que Mark tiene x reales, ya que John tiene 20 reales más, por lo que tiene x + 20.
Marcas → x reales
João → (x + 20) reales
como compraron dos pares de zapatillas que cuestan 80 reales cada uno, por lo que si juntamos las partes de cada uno, tendremos que:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 - 20
2x = 140
Por lo tanto, Mark tenía 70 reales y João, 90 reales.
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
