Ejercicios de interés compuesto

El interés compuesto representa la corrección aplicada a una cantidad que se tomó prestada o se aplicó. Este tipo de corrección también se denomina interés sobre interés.

Como contenido de gran aplicabilidad, aparece con frecuencia en concursos, exámenes de acceso y en Enem. Por lo tanto, utilice las preguntas siguientes para verificar su conocimiento de este contenido.

Preguntas comentadas

1) Enem - 2018

Un contrato de préstamo establece que cuando se paga una cuota por adelantado, se otorgará una reducción de intereses de acuerdo con el período de anticipo. En este caso, paga el valor presente, que es el valor en ese momento, de una cantidad que debe pagarse en una fecha futura. Un valor presente P sometido a interés compuesto a la tasa i, durante un período de tiempo n, produce un valor futuro V determinado por la fórmula

En un contrato de préstamo con sesenta cuotas fijas mensuales, de R $ 820,00, a una tasa de interés del 1,32% mensual, en conjunto Con la trigésima cuota se pagará otra cuota por adelantado, siempre que el descuento sea superior al 25% del valor de la parte.

Utilice 0.2877 como aproximación para y 0,0131 como aproximación a ln (1,0132).
La primera de las entregas que se pueden anticipar junto con la 30 es la

a) 56º
b) 55º
c) 52º
d) 51º
e) 45

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En la pregunta propuesta, queremos saber en qué plazo, aplicando la reducción de intereses al pagar por adelantado, el monto pagado tiene un descuento superior al 25%, es decir:

Simplificando la fracción (dividiendo arriba y abajo por 25), descubriendo que el monto a pagar por el anticipo debe ser:

La cuota anticipada corresponde al valor futuro corregido al valor presente, es decir, descontado el 1.32% de interés al pagar esta cuota antes del plazo, es decir:

Donde n es igual al período a anticipar. Reemplazando esta expresión por la anterior, tenemos:

Dado que 820 aparece en ambos lados de la desigualdad, podemos simplificar, "recortando" este valor:

Podemos invertir las fracciones, teniendo cuidado de invertir también el signo de la desigualdad. Entonces, nuestra expresión es:

Tenga en cuenta que el valor que queremos encontrar está en el exponente (n). Por tanto, para resolver la desigualdad aplicaremos el logaritmo natural (ln) en ambos lados de la desigualdad, es decir:

Ahora, podemos sustituir los valores indicados en la declaración y encontrar el valor de n:

Como n debe ser mayor que el valor encontrado, entonces tendremos que anticipar 22 cuotas, es decir, pagaremos la 30ª cuota junto con la 52 (30 + 22 = 52).

Alternativa: c) 52a

2) Enem - 2011

Un inversor joven debe elegir qué inversión le traerá el mayor retorno financiero en una inversión de R $ 500,00. Para ello, investiga la renta y el impuesto a pagar sobre dos inversiones: ahorro y CDB (certificado de depósito bancario). La información obtenida se resume en la tabla:

Para el joven inversor, al final de un mes, la aplicación más ventajosa es

a) ahorro, ya que totalizará R $ 502,80.
b) ahorro, ya que totalizará R $ 500,56.
c) el CDB, ya que totalizará R $ 504,38.
d) el CDB, ya que totalizará R $ 504,21.
e) el CDB, ya que totalizará R $ 500,87.

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Para averiguar cuál es el mejor rendimiento, calculemos cuánto producirá cada uno al final de un mes. Así que comencemos calculando los ingresos por ahorros.

Teniendo en cuenta los datos del problema, tenemos:

c = BRL 500,00
i = 0.560% = 0.0056 a.m.
t = 1 mes
M =?

Reemplazando estos valores en la fórmula de interés compuesto, tenemos:

M = C (1 + yo)^t
METRO_ahorros = 500 (1 + 0,0056)¹
METRO_ahorros = 500.1,0056
METRO_ahorros = 502,80 BRL

Como en este tipo de aplicaciones no hay deducción del impuesto sobre la renta, este será el importe amortizado.

Ahora, calculemos los valores del CDB. Para esta aplicación, la tasa de interés es igual a 0.876% (0.00876). Reemplazando estos valores, tenemos:

METRO_CBD = 500 (1+0,00876)¹
METRO_CBD = 500.1,00876
METRO_CBD = 504,38 BRL

Esta cantidad no será la cantidad que reciba el inversor, ya que en esta aplicación hay un 4% de descuento, relativo al impuesto sobre la renta, que deberá aplicarse sobre los intereses percibidos, según se indica bramido:

J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38

Necesitamos calcular el 4% de este valor, solo haz lo siguiente:

4,38.0,04 = 0,1752

Aplicando este descuento al valor, encontramos:

504,38 - 0,1752 = BRL 504,21

Alternativa: d) el CDB, ya que totalizará R $ 504,21.

3) UERJ - 2017

Se invirtió un capital de C reales a un interés compuesto del 10% mensual y generó, en tres meses, un monto de R $ 53.240. Calcule el valor, en reales, del capital inicial C.

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Tenemos los siguientes datos en el problema:

M = BRL 53240,00
i = 10% = 0,1 por mes
t = 3 meses
C =?

Reemplazando estos datos en la fórmula de interés compuesto, tenemos:

M = C (1 + yo)^t
53240 = C (1 + 0,1)³
53240 = 1,331 C

4) Fuvest - 2018

María quiere comprar un televisor que se vende por R $ 1.500,00 en efectivo o en 3 cuotas mensuales sin intereses de R $ 500,00. El dinero que María apartó para esta compra no alcanza para pagar en efectivo, pero descubrió que el banco ofrece una inversión financiera que gana un 1% mensual. Luego de hacer los cálculos, María concluyó que si paga la primera cuota y, el mismo día, aplica la cantidad restante, podrás pagar las dos cuotas restantes sin tener que poner ni tomar un centavo ni siquiera. ¿Cuánto reservó María para esta compra, en reales?

a) 1.450,20
b) 1.480,20
c) 1.485,20
d) 1.495,20
e) 1.490,20

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En este problema tenemos que hacer la equivalencia de valores, es decir, conocemos el valor futuro que se debe pagar en cada cuota y queremos conocer el valor presente (capital que se aplicará).

Para esta situación usamos la siguiente fórmula:

Considerando que la aplicación debe rendir BRL 500,00 al momento del pago de la segunda cuota, que será 1 mes después del pago de la primera cuota, tenemos:

Para pagar la tercera cuota también de R $ 500,00, el monto se aplicará por 2 meses, por lo que el monto aplicado será igual a:

Así, el monto que María apartó para la compra es igual a la suma de los montos aplicados con el monto de la primera cuota, es decir:

V = 500 + 495.05 + 490.15 = BRL 1,485.20

Alternativa: c) BRL 1.485,20

5) UNESP - 2005

Mário tomó un préstamo de R $ 8.000,00 al 5% de interés mensual. Dos meses después, Mário pagó R $ 5.000,00 del préstamo y, un mes después de este pago, canceló toda su deuda. El valor del último pago fue:

a) R $ 3.015.
b) R $ 3.820,00.
c) R $ 4.011,00.
d) R $ 5.011,00.
e) R $ 5.250,00.

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Sabemos que el préstamo se pagó en dos cuotas y que disponemos de los siguientes datos:

V_PAG = 8000
i = 5% = 0.05 a.m
V_F1 = 5000
V_F2 = x

Considerando los datos y haciendo la equivalencia de capitales, tenemos:

Alternativa: c) R $ 4.011,00.

6) PUC / RJ - 2000

Un banco cobra una tasa de interés del 11% mensual sobre su servicio de sobregiro. Por cada 100 reales de sobregiro, el banco cobra 111 en el primer mes, 123,21 en el segundo y así sucesivamente. Sobre un monto de 100 reales, al cabo de un año el banco cobrará aproximadamente:

a) 150 reales.
b) 200 reales
c) 250 reales.
d) 300 reales.
e) 350 reales.

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De la información dada en el problema, identificamos que la corrección del monto cobrado por el descubierto es por interés compuesto.

Tenga en cuenta que el monto cobrado para el segundo mes se calculó considerando el monto ya corregido para el primer mes, es decir:

J = 111. 0,11 = 12,21 BRL

M = 111 + 12,21 = R $ 123,21

Por lo tanto, para encontrar el monto que cobrará el banco al final de un año, apliquemos la fórmula de interés compuesto, es decir:

M = C (1 + yo)^t

Ser:

C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 por mes
t = 1 año = 12 meses
M = 100 (1 + 0,11)¹²
M = 100.1.11¹²
M = 100,3,498

Alternativa: e) 350 reales

Para obtener más información sobre este tema, lea también:

• Porcentaje
• ¿Cómo calcular el porcentaje?
• Ejercicios de porcentaje
• Fórmulas matemáticas
• Matemáticas en Enem