Dos líneas distintas que están en el mismo plano son concurrentes cuando tienen un solo punto en común.
Las líneas concurrentes forman 4 ángulos entre sí y, según las medidas de estos ángulos, pueden ser perpendiculares u oblicuas.
Cuando los 4 ángulos que forman son iguales a 90º, se les llama perpendiculares.
En la figura debajo de las líneas r y s son perpendiculares.
Si los ángulos formados son diferentes de 90º, se denominan competidores oblicuos. En la siguiente figura representamos las líneas tu y v oblicuos.
Líneas en competencia, coincidentes y paralelas
Dos rectas que pertenecen a un mismo plano pueden ser concurrentes, coincidentes o paralelas.
Mientras que las rectas concurrentes tienen un solo punto de intersección, las rectas coincidentes tienen al menos dos puntos en común y el lineas paralelas no tienen puntos en común.
Posición relativa de dos rectas
Conociendo las ecuaciones de dos rectas podemos verificar sus posiciones relativas. Para ello debemos resolver el sistema formado por las ecuaciones de las dos rectas. Entonces tenemos:
- Líneas concurrentes: el sistema es posible y determinado (un solo punto en común).
- Líneas coincidentes: el sistema es posible y determinado (infinito punto en común).
- Líneas paralelas: el sistema es imposible (no hay puntos en común).
Ejemplo:
Determine la posición relativa entre la línea r: x - 2y - 5 = 0 y la línea s: 2x - 4y - 2 = 0.
Solución:
Para encontrar la posición relativa entre las líneas dadas, debemos calcular el sistema de ecuaciones formado por sus líneas, así tenemos:
Al resolver el sistema por suma encontramos la siguiente ecuación 0y = - 8, como no hay solución para esta ecuación, es imposible. De esta forma, las dos líneas son paralelas.
Ángulos opuestos por vértice
Dos líneas en competencia forman dos pares de anglos. Estos ángulos tienen un punto común que se llama vértice.
Los pares de ángulos opuestos por el vértice son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
En la siguiente figura, representamos los ángulos AÔB y CÔD que son opuestos por el vértice, así como los ángulos AÔC y BÔD.
Punto de intersección entre dos rectas concurrentes
El punto de intersección entre dos rectas concurrentes pertenece a las ecuaciones de las dos rectas. De esta forma, podemos encontrar las coordenadas de este punto en común, resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de estas rectas.
Ejemplo:
Determine las coordenadas de un punto P común a las líneas r y s, cuyas ecuaciones son x + 3y + 4 = 0 y 2x - 5y - 2 = 0, respectivamente.
Solución:
Para encontrar las coordenadas del punto, debemos resolver el sistema con las ecuaciones dadas. Entonces tenemos:
Resolviendo el sistema, tenemos:
Sustituyendo este valor en la primera ecuación encontramos:
Por lo tanto, las coordenadas del punto de intersección son , o sea
.
Obtenga más información leyendo también:
- Lineas perpendiculares
- derecho
- cónico
Ejercicios resueltos
1) En un sistema de ejes ortogonales, - 2x + y + 5 = 0 y 2x + 5y - 11 = 0 son, respectivamente, las ecuaciones de las rectas rys. Encuentra las coordenadas del punto de intersección de rys.
P (3, 1)
2) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de un triángulo, sabiendo que las ecuaciones de las líneas de apoyo de sus lados son - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 y 3x + 2y - 5 = 0 ?
A (3, - 2)
B (1, 1)
C (5, 2)
3) Determine la posición relativa de las rectas r: 3x - y -10 = 0 y 2x + 5y - 1 = 0.
Las rectas son concurrentes, siendo el punto de intersección (3, - 1).
