Los ángulos de 30º, 45º y 60º se denominan notables porque son los que calculamos con mayor frecuencia.
Por lo tanto, es importante conocer los valores de seno, coseno y tangente de estos ángulos.
Tabla de ángulos notables
La siguiente tabla es muy útil y se puede construir fácilmente siguiendo los pasos indicados.
Valor de seno y coseno de 30 y 60
Tú anglos 30º y 60º son complementarios, es decir, suman 90º.
Encontramos el valor del seno de 30º calculando la relación entre el lado opuesto y la hipotenusa. El valor del coseno de 60º es la relación entre el lado adyacente y la hipotenusa.
De esta forma, el seno de 30º y el coseno de 60º del triángulo que se muestra a continuación estarán dados por:
Así, encontramos que el valor del seno de 30 ° es igual al valor del coseno de 60 °. Lo mismo ocurre con el seno 60 y el coseno 30, porque:
Entonces, cuando dos ángulos son complementario, el valor del seno de uno es igual al valor del coseno del otro.
Para encontrar el valor de 30º seno (60º coseno) y 30º coseno (60º seno), consideremos un triángulo equilátero ABC con lados iguales a L, representado a continuación:
La altura (h) del triángulo equilátero coincide con la mediana, por lo que la altura divide el lado en relación con el medio ().
Además, la altura coincide con la bisectriz. De esta forma, el ángulo también se divide por la mitad, como se muestra en la figura.
Consideremos también que el valor de la altura viene dado por:
.
Para calcular el seno y el coseno de 30º, consideraremos el triángulo rectángulo AHB, que se obtuvo del triángulo ABC.
Entonces tenemos:
y
Valor de seno y coseno de 45º
Calcularemos el valor de seno y coseno del ángulo de 45º, a partir de un cuadrado con el lado L representado a continuación:
La diagonal del cuadrado es la bisectriz del ángulo, es decir, la diagonal divide el ángulo por la mitad (45º). Además, las medidas diagonales .
Para encontrar el valor de seno y coseno de 45º, consideremos el triángulo rectángulo ABC que se muestra en la figura:
Luego:
y
Valor de la tangente de 30, 45 y 60
Para calcular la tangente de los ángulos notables usaremos la razón trigonométrica:
Así:
Para obtener más información, lea también:
- Tabla trigonométrica
- Seno, coseno y tangente
- Trigonometría en el triángulo rectángulo
- ley de los pecados
- Ley del coseno
Ejercicios resueltos
1) Un nadador cruza un río en un ángulo de 30 ° con una de las orillas. Sabiendo que el ancho del río mide 40 m, determine la distancia recorrida por el nadador para cruzar el río.
2) Enem - 2010
Un globo atmosférico, lanzado en Bauru (343 kilómetros al noroeste de São Paulo), el pasado domingo por la noche, cayó este lunes en Cuiabá Paulista, en la región de Presidente Prudente, asustando a los agricultores de región. El artefacto es parte del programa Hibiscus Project, desarrollado por Brasil, Francia, Argentina, Inglaterra y Italia, para medir el comportamiento de la capa de ozono, y su descenso se produjo tras el cumplimiento de la hora
medida esperada.
En la fecha del evento, dos personas vieron el globo. Uno estaba a 1,8 km de la posición vertical del globo y lo vio en un ángulo de 60º; el otro estaba a 5,5 km de la posición vertical del globo, alineado con el primero, y en la misma dirección, como se ve en la figura, y lo vio en un ángulo de 30º.
¿Cuál es la altura aproximada del globo?
a) 1.8km
b) 1,9 kilometros
c) 3,1 kilometros
d) 3,7 kilometros
e) 5,5 kilometros
