LA ley de los pecados determina que en cualquier triángulo, la relación sinusoidal de un ángulo es siempre proporcional a la medida del lado opuesto a ese ángulo.
Este teorema demuestra que en el mismo triángulo la razón entre el valor de un lado y el seno de su ángulo opuesto siempre será constante.
Así, para un triángulo ABC con lados a, b, c, la Ley de los Pecados admite las siguientes relaciones:
Representación de las leyes de los pecados en el triángulo.
Ejemplo
Para una mejor comprensión, calculemos la medida de los lados AB y BC de este triángulo, en función de la medida b del lado AC.
Por la ley de los senos, podemos establecer la siguiente relación:
Por tanto, AB = 0.816by BC = 1.115b.
Nota: Los valores de los senos se consultaron en tabla de razones trigonométricas. En él podemos encontrar los valores de los ángulos de 1º a 90º de cada función trigonométrica (seno, coseno y tangente).
Los ángulos de 30º, 45º y 60º son los más utilizados en los cálculos de trigonometría. Por lo tanto, se les llama ángulos notables. Consulte una tabla con los valores a continuación:
| Relaciones trigonométricas | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| Seno | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| coseno | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| Tangente | √3/3 | 1 | √3 |
Aplicación de la ley de los pecados
Usamos la ley del seno en triángulos agudos, donde los ángulos internos son menores de 90º (agudos); o en triángulos obtusos, que tienen ángulos internos mayores a 90º (obtusos). En estos casos, también puede utilizar el Ley del coseno.
El objetivo principal de usar la Ley de los Pecados o Cosenos es descubrir las medidas de los lados de un triángulo y también sus ángulos.
Representación de triángulos según sus ángulos internos
¿Y la Ley de los Pecados en el Rectángulo Triángulo?
Como se mencionó anteriormente, la Ley de los Pecados se usa tanto en triángulos agudos como obtusos.
En los triángulos rectángulos, formados por un ángulo interno de 90º (recto), utilizamos el Teorema de Pitágoras y las relaciones entre sus lados: opuesto, lado adyacente e hipotenusa.
Representación del triángulo rectángulo y sus lados.
Este teorema tiene la siguiente declaración: "la suma de los cuadrados de sus catetos corresponde al cuadrado de su hipotenusa". Su fórmula se expresa:
H2 = ca2 + co2
Así, cuando tenemos un triángulo rectángulo, el seno será la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
Se lee en sentido opuesto en la hipotenusa.
El coseno corresponde a la proporción entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa, representada por la expresión:
Se lee junto a la hipotenusa.
Ejercicios de examen de ingreso
1.(UFPB) El ayuntamiento de una determinada ciudad construirá, sobre un río que atraviesa esa ciudad, un puente que debe ser recto y conectar dos puntos, A y B, ubicados en las márgenes opuestas del río. Para medir la distancia entre estos puntos, un topógrafo ubicó un tercer punto, C, a 200 m del punto A y en la misma orilla del río que el punto A. Usando un teodolito (un instrumento de precisión para medir ángulos horizontales y ángulos verticales, a menudo utilizado en trabajos topográficos), el topógrafo observó que los ángulos medidos, respectivamente, 30º y 105º, como se ilustra en la siguiente figura.
Con base en esta información, es correcto afirmar que la distancia, en metros, del punto A al punto B es:
objetivo: Determina la medida de AB.
Idea 1 - Ley de los pecados para determinar AB
La figura forma el triángulo ABC, donde el lado AC mide 200 my tenemos dos ángulos determinados.
siendo el ángulo opuesto al lado AC de 200 my el ángulo C opuesto al lado AB, podemos determinar AB a través del ley de pecados.
LA ley de pecados determina que las relaciones entre las medidas de los lados y los senos de los ángulos opuestos, respectivas a estos lados, son iguales en el mismo triángulo.
Idea 2 - determina el ángulo
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 °, por lo que podemos determinar el ángulo B.
B + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °
Reemplazando el valor de en la ley de los senos y haciendo los cálculos.
Tenga en cuenta que hay una raíz cuadrada en un denominador. Saquemos esta raíz haciendo la racionalización, que es la multiplicación tanto del denominador como del numerador de la fracción por la raíz misma.
Reemplazando el valor AC, tenemos:
Por tanto, la distancia entre los puntos A y B es .
2. (Mackenzie - SP) Tres islas A, B y C aparecen en un mapa a escala 1: 10000, como se muestra en la figura. De las alternativas, la que mejor aproxima la distancia entre las islas A y B es:
a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 kilometros
d) 1,4 kilometros
e) 1,7 km
Respuesta correcta: e) 1,7 km
Objetivo: Determinar la medida del segmento AB.
Idea 1: usa la ley del seno para encontrar la medida de AB
Ley de los pecados: Las medidas de los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.
Idea 2: determina el ángulo
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45
Idea 3: Aplicar el valor de C en la ley de los senos.
Idea 4: aproxima el valor de la raíz cuadrada y usa la escala
Haciendo
12. 1,4 = 16,8
La escala dice 1: 10000, multiplicando:
16,8. 10000 = 168 000 cm
Idea 5: pasar de cm a km
168 000 cm / 100 000 = 1,68 km
Conclusión: Como la distancia calculada es de 1,68 km, la alternativa más cercana es la letra e.
Nota: Para pasar de cm a km, dividimos entre 100 000 porque, en la siguiente escala, de centímetros a km, contamos 5 lugares a la izquierda.
km -5- hm -4- presa -3- m -2- dm -1- cm mm
3. (Unifor-CE) Se sabe que en todo triángulo la medida de cada lado es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto al lado. Con esta información, se concluye que la medida del lado AB del triángulo que se muestra a continuación es:
La declaración proporciona la ley de los senos.
De la trigonometría, tenemos que: sin 120 = sin 60.
Reemplazando los valores en la fórmula:
Para no dejar una raíz en el denominador, usamos la racionalización, multiplicando el denominador y el numerador por la raíz de 3.
Por lo tanto, la medida en el lado AB es .
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