LA teoría de probabilidad es la rama de las Matemáticas que estudia experimentos o fenómenos aleatorios y a través de ella es posible analizar las posibilidades de que ocurra un determinado evento.
Cuando calculamos la probabilidad, estamos asociando un grado de confianza en que se producirán los posibles resultados de los experimentos, cuyos resultados no se pueden determinar de antemano.
De esta forma, el cálculo de la probabilidad asocia la ocurrencia de un resultado a un valor que varía de 0 a 1 y, cuanto más cercano esté el resultado a 1, mayor es la certeza de su ocurrencia.
Por ejemplo, podemos calcular la probabilidad de que una persona compre un billete de lotería ganador o conocer las probabilidades de que una pareja tenga 5 hijos, todos varones.
experimento aleatorio
Un experimento aleatorio es aquel que no puede predecir qué resultado se encontrará antes de llevarlo a cabo.
Eventos de este tipo, cuando se repiten en las mismas condiciones, pueden dar resultados diferentes y esta inconstancia se atribuye al azar.
Un ejemplo de un experimento aleatorio es lanzar un dado no sesgado (dado que tiene una distribución de masa homogénea) hacia arriba. Al caer, no es posible predecir con certeza cuál de las 6 caras estará mirando hacia arriba.
Fórmula de probabilidad
En un fenómeno aleatorio, las posibilidades de que ocurra un evento son igualmente probables.
Por lo tanto, podemos encontrar la probabilidad de que ocurra un resultado dado dividiendo el número de eventos favorables y el número total de resultados posibles:
Ser:
Pensilvania): probabilidad de ocurrencia de un evento A
a): número de casos que nos interesan (evento A)
n (Ω): número total de casos posibles
Ejemplos de
1) Si lanzamos un dado perfecto, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 3?
Solución
Como dado perfecto, las 6 caras tienen la misma probabilidad de caer boca arriba. Así que apliquemos la fórmula de probabilidad.
Para ello, debemos considerar que tenemos 6 casos posibles (1, 2, 3, 4, 5, 6) y que el evento "de un número menor a 3" tiene 2 posibilidades, es decir, del número 1 o el número 2. Entonces tenemos:
2) La baraja de cartas consta de 52 cartas divididas en cuatro palos (corazones, tréboles, diamantes y espadas) con 13 cartas de cada palo. Por lo tanto, si saca una carta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que salga una carta del palo del trébol?
Solución
Al robar una carta al azar, no podemos predecir cuál será esta carta. Entonces este es un experimento aleatorio.
En este caso, el número de tarjetas corresponde al número de casos posibles y tenemos 13 clubes que representan el número de eventos favorables.
Sustituyendo estos valores en la fórmula de probabilidad, tenemos:
Espacio muestral
representado por la letra Ω, el espacio muestral corresponde al conjunto de posibles resultados obtenidos de un experimento aleatorio.
Por ejemplo, al tomar aleatoriamente una carta de una baraja, el espacio muestral corresponde a las 52 cartas que componen esta baraja.
Asimismo, el espacio muestral al lanzar un dado una vez, son las seis caras que lo componen:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 y 6}.
Tipos de eventos
El evento es cualquier subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.
Cuando un evento es exactamente igual que su espacio muestral, se denomina evento correcto. Por el contrario, cuando el evento está vacío, se denomina evento imposible.
Ejemplo
Imagina que tenemos una caja con bolas numeradas del 1 al 20 y que todas las bolas son rojas.
El evento "dibuja una bola roja" es un evento seguro, ya que todas las bolas de la caja son de este color. El evento "dibujar un número mayor que 30" es imposible, ya que el número más alto en el cuadro es 20.
Análisis combinatorio
En muchas situaciones, es posible descubrir directamente el número de eventos posibles y favorables en un experimento aleatorio.
Sin embargo, en algunos problemas deberá calcular estos valores. En este caso, podemos utilizar las fórmulas de permutación, ordenamiento y combinación según la situación propuesta en la pregunta.
Para obtener más información sobre el tema, vaya a:
- Análisis combinatorio
- Ejercicios de análisis combinatorio
- Principio fundamental de contar
- Permutación
Ejemplo
(EsPCEx - 2012) La probabilidad de obtener un número divisible por 2 en la elección aleatoria de una de las permutaciones de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 es
Solución
En este caso, necesitamos averiguar la cantidad de eventos posibles, es decir, cuántos números diferentes obtenemos al cambiar el orden de los 5 dígitos dados (n = 5).
Como, en este caso, el orden de los dígitos forma números diferentes, usaremos la fórmula de permutación. Por tanto, tenemos:
Posibles eventos:
Por tanto, con 5 dígitos podemos encontrar 120 números distintos.
Para calcular la probabilidad, todavía tenemos que encontrar el número de eventos favorables que, en este caso, es encontrar un número divisible por 2, lo que sucederá cuando el último dígito del número sea 2 o 4.
Teniendo en cuenta que para la última posición solo tenemos estas dos posibilidades, entonces tendremos que intercambiar las otras 4 posiciones que componen el número, así:
Acontecimientos favorables:
La probabilidad se hallará haciendo:
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Ejercicio resuelto
1) PUC / RJ - 2013
Si a = 2n + 1 con n ∈ {1, 2, 3, 4}, entonces la probabilidad del número La ser pareja es
a 1
b) 0,2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Al sustituir cada valor posible de n en la expresión del número a, notamos que el resultado siempre será un número impar.
Por lo tanto, "ser un número par" es un evento imposible. En este caso, la probabilidad es igual a cero.
Alternativa: e) 0
2) UPE - 2013
En un grupo de un curso de español, tres personas pretenden hacer un programa de intercambio en Chile y siete en España. Entre estas diez personas, dos fueron elegidas para la entrevista que sacará becas para estudiar en el extranjero. La probabilidad de que estas dos personas elegidas pertenezcan al grupo de quienes pretenden hacer un intercambio en Chile es
Primero, encontremos el número de situaciones posibles. Como la elección de las 2 personas no depende del orden, usaremos la fórmula de combinación para determinar el número de casos posibles, es decir:
Entonces, hay 45 formas de elegir a 2 personas de un grupo de 10 personas.
Ahora, necesitamos calcular la cantidad de eventos favorables, es decir, las dos personas sorteadas quieren hacer el intercambio en Chile. Nuevamente usaremos la fórmula de combinación:
Entonces hay 3 formas de elegir 2 personas de las 3 que quieren estudiar en Chile.
Con los valores encontrados, podemos calcular la probabilidad solicitada sustituyendo en la fórmula:
Alternativa: b)
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