LA fracción generadora y el representación fraccionada de un diezmo periódico. Esta representación es una estrategia importante para resolver problemas sobre operaciones matemáticas básicas que involucran decimales periódicos. Para encontrarlo, podemos utilizar técnicas de ecuaciones así como un método práctico.
Lea también: ¿Cómo resolver operaciones con fracción?
¿Qué es un diezmo periódico?
Antes de comprender qué es una fracción generatriz, es fundamental comprender qué es un decimal periódico. Hay dos posibles casos de diezmos periódicos: el decimal periódico simple y el decimal periódico compuesto. Un diezmo periódico es un número decimal que tiene una parte decimal infinita y periódica.
diezmo periódico simple
El decimal periódico simple se compone de una parte entera y una parte decimal. LA la parte decimal es la repetición de su período, como se muestra en los ejemplos siguientes.
Ejemplos de:
a) 1.2222 ...
Toda una parte → 1
parte decimal → 0,2222…
Curso del tiempo → 2
b) 3,252525 ...
Toda una parte → 3
parte decimal → 0,252525…
Curso del tiempo → 25
c) 0,8888 ...
Toda una parte → 0
parte decimal → 0,8888
Curso del tiempo → 8
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diezmo periódico compuesto
Un decimal periódico compuesto es un decimal que tiene una parte entera, una parte decimal y, en su parte decimal, una parte no periódica - conocido como el antiperíodo - y el período.
Ejemplos de:
a) 2.0666 ...
Toda una parte → 2
parte decimal→ 0,0666…
Antiperiodo → 0
Curso del tiempo → 6
b) 13,518888 ...
Toda una parte → 13
parte decimal → 0,51888…
Antiperiodo → 51
Curso del tiempo → 8
c) 0,109090909 ...
Toda una parte → 0
parte decimal → 0,10909090
Antiperiodo → 1
Curso del tiempo → 09
Lea también: ¿Qué son las fracciones equivalentes?
¿Qué es la fracción generativa?
la fracción generadora es la representación fraccionaria del decimal periódico, sea simple, sea compuesto. Como sugiere el nombre, la fracción generadora genera el diezmo cuando compartimos el numerador por el denominador de la representación fraccionaria.
Ejemplos de:
Paso a paso para calcular la fracción generadora
Echemos un vistazo paso a paso al decimal periódico simple y al decimal periódico compuesto.
diezmos periódicos simples
Para encontrar la fracción generadora de un decimal periódico simple, es necesario seguir algunos pasos, a saber:
1er paso: igual al decimal periódico ax.
2do paso: de acuerdo con el número de dígitos del período, multiplique ambos lados de la ecuación por:
10 → si hay 1 dígito en el período;
100 → si hay 2 dígitos en el período;
1000 → si hay 3 dígitos en el período; y así sucesivamente.
3er paso: calcular la diferencia entre el ecuación encontrado en el paso 2 y la ecuación es igual ax en el paso 1, y resuelva la ecuación.
Ejemplo 1:
Encuentra la fracción generadora del decimal 1,444 ...
x = 1,4444…
El período es 4 y como solo hay un dígito en el período, lo multiplicaremos por 10 de ambos lados:
10x = 1,444… · 10
10x = 14,444 ...
10x - x = 14,444.. – 0,444…
9x = 14
x = 14/9
Entonces, la fracción generadora del diezmo es:
Ejemplo 2:
Encuentre la fracción generadora del decimal periódico 3.252525…
x = 3,252525…
El punto es 25 y, como tiene 2 dígitos, lo multiplicaremos por 100.
100x = 3,252525… · 100
100x = 325,252525 ...
Ahora calculando el diferencia entre 100x yx:
100x - x = 325,2525... - 3,252525 ...
99x = 322
x = 322/99
Entonces, la fracción generadora del diezmo es:
diezmo periódico compuesto
Cuando se compone el decimal periódico, lo que cambia es que agregamos un nuevo paso en la resolución para encontrar la fracción generadora.
1er paso: igual al decimal periódico ax.
2do paso: Transforme el decimal periódico compuesto en un decimal periódico simple multiplicándolo por:
10, si hay 1 dígito en el antiperíodo;
100 si hay 2 dígitos en el antiperíodo; y así sucesivamente.
3er paso: de acuerdo con el número de dígitos del período, multiplique ambos lados de la ecuación por:
10 → si hay 1 dígito en el período;
100 → si hay 2 dígitos en el período;
1000 → si hay 3 dígitos en el período; y así sucesivamente.
4to paso: calcule la diferencia entre la ecuación encontrada en el paso 3 y el paso 2, y resuelva la ecuación.
Ejemplo:
Encuentre la fracción generadora del diezmo 5.0323232 ...
x = 5,0323232 ...
Tenga en cuenta que hay 1 dígito en el antiperíodo, que es 0. Lo multiplicaremos por 10 para convertirlo en un decimal periódico.
10x = 5,0323232... · 10
10x = 50,332232 ...
Ahora identifiquemos el período, que es 32. Como hay 2 dígitos, multiplicaremos el diezmo por 100.
1000x = 5032,323232 ...
Ahora calculamos la diferencia entre 1000x y 10x:
1000x - 10x = 5032.323232... - 50.323232 ...
990x = 4982
x = 4982/990
Entonces, la fracción generadora es:
Vea también: ¿Cómo se forma un número mixto?
método práctico
Usamos el método práctico para Facilitar el proceso de encontrar la fracción generadora del decimal periódico.. Veamos dos casos diferentes: cuando el decimal periódico es simple y cuando es compuesto.
Método práctico para diezmos periódicos sencillos
En un decimal periódico simple, el método práctico es:
1er paso: escriba la suma entre la parte entera y la parte decimal del decimal periódico;
2do paso: transforma la parte decimal en fracción, de la siguiente manera: el numerador siempre será el período y el denominador será:
9 → si hay 1 dígito en el período;
99 → si hay 2 dígitos en el período;
999 → si hay 3 dígitos en el período; y así sucesivamente.
3er paso: Suma la parte entera con la fracción encontrada.
Ejemplo:
5,888…
5,888… = 5 + 0,888…
Al transformar 0.888... en fracción, tenemos un numerador igual a 8, ya que 8 es el período de la fracción, y el denominador es igual a 9, ya que solo hay 1 dígito en el período, entonces:
Método práctico para diezmos compuestos periódicos
Ejemplo:
Encontraremos la fracción generadora del diezmo 4,1252525 ...
Primero identificamos la parte completa, el antiperíodo y el período del diezmo compuesto:
Pieza entera: 4
Antiperíodo: 1
Periodo: 25
El numerador del diezmo compuesto es la diferencia entre el número formado por los dígitos de la parte entera, antiperíodo y período, y el número formado por la parte entera y antiperíodo.
4125 – 41 =4084
En el denominador, para cada número en el período, agregamos un 9 y luego, para cada número en la parte no periódica, un 0.
el período es 25, entonces agregamos 99; el antiperítodo es 1, entonces agregamos 0, luego el denominador é990.
La fracción generadora del diezmo es:
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Al realizar la división entre dos números naturales, se encontró el decimal periódico 1.353535… La fracción generadora de este decimal es:
Resolución
Alternativa C.
Haremos x = 1.353535…
Multiplicando por 100 en ambos lados, tenemos que:
100 x = 135,3535…
Ahora calculemos la diferencia entre 100x y x.
Pregunta 2 - Si x = 0.151515… e y = 0.242424…, ¿es la división y: x igual a?
Resolución
Alternativa A.
Encontrando las fracciones generadoras por el método práctico, tenemos que:
x = 0,151515…
El diezmo tiene un período igual a 15, por lo que su numerador es 15 y el denominador es 99.
Con el mismo razonamiento para y = 0.242424…, el numerador es 24 y el denominador es 99.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
