Tú conjuntos numéricos incluyen los siguientes conjuntos: Naturales (ℕ), Enteros (ℤ), Racionales (ℚ), Irracionales (I), Reales (ℝ) y Complejos (ℂ).
Aprovecha los ejercicios comentados para verificar tus conocimientos sobre esta importante asignatura de Matemáticas.
Pregunta 1
¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?
a) Todo número entero es racional y todo número real es un entero.
b) La intersección del conjunto de números racionales con el conjunto de números irracionales tiene 1 elemento.
c) El número 1.83333... es un número racional.
d) La división de dos números enteros es siempre un número entero.
Alternativa correcta: c) El número 1.83333... es un número racional.
Veamos cada una de las declaraciones:
a) Falso. En realidad, todo número entero es racional, ya que se puede escribir en forma de fracción. Por ejemplo, el número -7, que es un número entero, se puede escribir como una fracción como -7/1. Sin embargo, no todos los números reales son números enteros, por ejemplo, 1/2 no es un número entero.
b) Falso. El conjunto de números racionales no tiene ningún número en común con los irracionales, ya que un número real es racional o irracional. Por tanto, la intersección es un conjunto vacío.
c) Verdadero. El número 1.83333... es un diezmo periódico porque el dígito 3 se repite infinitamente. Este número se puede escribir como una fracción como 11/6, por lo que es un número racional.
d) Falso. Por ejemplo, 7 dividido por 3 es igual a 2,33333..., que es un decimal periódico, por lo que no es un número entero.
Pregunta 2
El valor de la siguiente expresión, cuando a = 6 y b = 9, es:
a) un número natural impar
b) un número que pertenece al conjunto de números irracionales
c) no es un número real
d) un número entero cuyo módulo es mayor que 2
Alternativa correcta: d) un número entero cuyo módulo es mayor que 2.
Primero reemplacemos las letras con los valores indicados y resolvemos la expresión:
Tenga en cuenta que (-6)2 es diferente de - 62, la primera operación se puede realizar como: (-6)2 = (- 6). (- 6) = 36. Sin los paréntesis, solo 6 se eleva al cuadrado, es decir, - 62 = - (6.6) = -36.
Continuando con la resolución, tenemos:
Tenga en cuenta que dado que el índice de la raíz es un número impar (raíz cúbica), hay una raíz numérica negativa en el conjunto de números reales. Si el índice raíz fuera un número par, el resultado sería un número complejo.
Ahora, analicemos cada una de las opciones presentadas:
La opción La está mal porque la respuesta es un número negativo que no forma parte del conjunto de números naturales.
El número - 3 no es un decimal no periódico infinito, por lo que no es irracional, de ahí la letra B tampoco es la solución adecuada.
La letra C también es incorrecto, ya que el número - 3 es un número que pertenece al conjunto de números reales.
La opción correcta solo puede ser la letra D y en realidad el resultado de la expresión es un número entero y el módulo de -3 es 3, que es mayor que 2.
Pregunta 3
En los conjuntos (A y B) de la siguiente tabla, ¿qué alternativa representa una relación de inclusión?
Alternativa correcta: a)
La alternativa "a" es la única en la que un conjunto se incluye en otro. El conjunto A incluye el conjunto B o el conjunto B está incluido en A.
Entonces, ¿qué afirmaciones son correctas?
Yo - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A
a) I y II.
b) I y III.
c) I y IV.
d) II y III.
e) II y IV
Alternativa correcta: d) II y III.
I - Incorrecto - A no está contenido en B (A Ȼ B).
II - Correcto - B está contenido en A (B C A).
III - Correcto - A contiene B (B Ɔ A).
IV - Incorrecto - B no contiene A (B ⊅ A).
pregunta 4
Tenemos el conjunto A = {1, 2, 4, 8 y 16} y el conjunto B = {2, 4, 6, 8 y 10}. Según las alternativas, ¿dónde se ubican los elementos 2, 4 y 8?
Alternativa correcta: c).
Los elementos 2, 4 y 8 son comunes a ambos conjuntos. Por lo tanto, se ubican en el subconjunto A ∩ B (A intersección con B).
pregunta 5
Dados los conjuntos A, B y C, ¿qué imagen representa A U (B ∩ C)?
Alternativa correcta: d)
La única alternativa que satisface la condición inicial de B ∩ C (por el paréntesis) y, posteriormente, la unión con A.
pregunta 6
Se realizó una encuesta para conocer los hábitos de compra de los consumidores en relación a tres productos. La investigación obtuvo los siguientes resultados:
- 40% compra el producto A.
- 25% compra el producto B.
- 33% compra el producto C.
- El 20% compra los productos A y B.
- 5% compra productos B y C.
- El 19% compra los productos A y C.
- 2% compra los tres productos.
Con base en estos resultados, responda:
a) ¿Qué porcentaje de encuestados no compra ninguno de estos productos?
b) ¿Qué porcentaje de encuestados compra el producto A y B y no compra el producto C?
c) ¿Qué porcentaje de encuestados compra al menos uno de los productos?
Respuestas:
a) El 44% de los encuestados no consume ninguno de los tres productos.
b) El 18% de las personas que consumen ambos productos (A y B) no consumen el producto C.
c) El 56% de los encuestados consume al menos uno de los productos.
Para resolver este problema, hagamos un diagrama para visualizar mejor la situación.
Siempre debemos comenzar en la intersección de los tres conjuntos. Luego, incluiremos el valor de la intersección de dos conjuntos y, finalmente, el porcentaje de personas que solo compran una única marca de producto.
Se observa que el porcentaje de personas que consumen dos productos también incluye el porcentaje de personas que consumen los tres productos.
Por tanto, en el diagrama indicamos el porcentaje de los que consumen solo dos productos. Para ello, debemos restar el porcentaje de los que consumen los tres productos de los que consumen dos.
Por ejemplo, el porcentaje indicado que consume el producto A y el producto B es 20%, sin embargo este valor incluye el 2% relacionado con quien consume los tres productos.
Restando estos valores, es decir, 20% - 2% = 18%, encontramos el porcentaje de consumidores que compran únicamente los productos A y B.
Teniendo en cuenta estos cálculos, el diagrama para la situación descrita será como se muestra en la siguiente figura:
Con base en este diagrama, ahora podemos continuar respondiendo a las preguntas propuestas.
La) El porcentaje de los que no compran ningún producto es igual al total, es decir, el 100% excepto que consumen algún producto. Entonces, debemos hacer el siguiente cálculo:
100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%
Pronto, El 44% de los encuestados no consume ninguno de los tres productos..
B) El porcentaje de consumidores que compran el producto A y B y no compran el producto C se obtiene restando:
20 - 2 = 18%
Por lo tanto, El 18% de las personas que consumen ambos productos (A y B) no consumen el producto C.
C) Para encontrar el porcentaje de personas que consumen al menos uno de los productos, simplemente sume todos los valores del diagrama. Entonces tenemos:
3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%
De esta forma, El 56% de los encuestados consume al menos uno de los productos.
pregunta 7
(Enem / 2004) Un fabricante de cosméticos decide producir tres catálogos diferentes de sus productos, dirigidos a diferentes públicos. Como algunos productos estarán presentes en más de un catálogo y ocuparán una página completa, decide hacer un recuento para reducir gastos con originales impresos. Los catálogos C1, C2 y C3 tendrán, respectivamente, 50, 45 y 40 páginas. Comparando los diseños de cada catálogo, encuentra que C1 y C2 tendrán 10 páginas en común; C1 y C3 tendrán 6 páginas en común; C2 y C3 tendrán 5 páginas en común, de las cuales 4 también estarán en C1. Realizando los cálculos correspondientes, el fabricante concluyó que, para el montaje de los tres catálogos, se necesitará un total de originales impresos igual a:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
Alternativa correcta: c) 118
Podemos resolver esta cuestión construyendo un diagrama. Para ello, comencemos con las páginas que son comunes a los tres catálogos, es decir, 4 páginas.
A partir de ahí, indicaremos los valores, restando los que ya se han contabilizado. Así, el diagrama quedará como se indica a continuación:
Los valores se hallaron realizando los siguientes cálculos:
- Intersección C1, C2 y C3: 4
- Intersección C2, C3: 5 - 4 = 1
- Intersección C1 y C3: 6 - 4 = 2
- Intersección C1 y C2: 10 - 4 = 6
- Solo C1: 50 - 12 = 38
- Solo C2: 45-11 = 34
- Solo C3: 40 - 7 = 33
Para encontrar el número de páginas, simplemente agregue todos estos valores, es decir:
4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118
pregunta 8
(Enem / 2017) En este modelo de termómetro, los filetes registran las temperaturas mínima y máxima del día anterior y los filetes grises registran la temperatura ambiente actual, es decir, en el momento de leer el termómetro.
Entonces tiene dos columnas. A la izquierda, los números están en orden ascendente, de arriba a abajo, de -30 ° C a 50 ° C. En la columna de la derecha, los números están ordenados en orden ascendente, de abajo hacia arriba, de -30 ° C a 50 ° C.
La lectura se realiza de la siguiente manera:
- la temperatura mínima está indicada por el nivel inferior del filete negro en la columna de la izquierda.
- la temperatura máxima está indicada por el nivel inferior del filete negro en la columna de la derecha.
- la temperatura actual está indicada por el nivel superior en los filetes grises en las dos columnas.
¿Cuál es la temperatura máxima más cercana registrada en este termómetro?
a) 5 ° C
b) 7 ° C
c) 13 ° C
d) 15 ° C
e) 19 ° C
Alternativa correcta: e) 19 ° C
Para resolver el problema, simplemente lea la escala en la columna derecha del filete negro, que representa el registro de temperatura máxima.
pregunta 9
(Enem / 2017) El resultado de una encuesta electoral, sobre la preferencia de los votantes en relación a dos candidatos, se representó mediante el Gráfico 1.
Cuando este resultado se publicó en un periódico, el Gráfico 1 se recortó durante el diseño, como se muestra en el Gráfico 2.
Aunque los valores presentados son correctos y el ancho de las columnas es el mismo, muchos lectores criticó el formato del Gráfico 2 impreso en el periódico, alegando que hubo daño visual al candidato B. La diferencia entre las relaciones de altura de la columna B y la columna A en los gráficos 1 y 2 es:
a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35
Alternativa correcta: e) 8/35
Para resolver el problema, primero debemos encontrar la relación entre la altura de la columna B y la columna A en los dos gráficos. Estas razones se encuentran contando cuántas divisiones hay en cada columna.
Tenga en cuenta que en el gráfico 1, la columna A se divide en 7 "partes" iguales, mientras que la columna B en 3. En el gráfico 2, la columna A se divide en 5 "partes" iguales y la columna B en solo 1.
Por lo tanto, las fracciones que representan las relaciones entre la altura de la columna B y la columna A se pueden indicar mediante
Ahora solo resuelve la resta entre estas dos fracciones, así que tenemos:
pregunta 10
(Enem / 2018) Para crear un logo, un profesional en el campo del diseño gráfico quiere construirlo utilizando el conjunto de puntos planos en forma de triángulo, exactamente como se muestra en la imagen.
Para construir tal imagen usando una herramienta gráfica, será necesario escribir algebraicamente el conjunto que representa los puntos de este gráfico.
Este conjunto está dado por los pares ordenados (x; y) ℕ X ℕ, tal que
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20
Alternativa correcta: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
Tenga en cuenta que la cifra expresada en la pregunta, tanto en el eje y como en el eje x, comprende los números naturales (ℕ X ℕ) entre 0 y 10. Tenemos que: 0 ≤ y ≤ 10 y 0 ≤ x ≤ 10.
Así: y = (0.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) yx = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Sin embargo, la figura representada es un triángulo. Para satisfacer esta condición, en pares ordenados y no puede ser mayor que x.
Tenga en cuenta que los valores de y están limitados por la igualdad con los valores de x, formando la hipotenusa de este triángulo rectángulo: (0,0), (1; 1), (2; 2), (3; 3 ), (4; 4), (5; 5)... (10; 10).
Por tanto, tenemos que: y ≤ x.
Pronto, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.
Para obtener más información, lea también:
- Conjuntos numéricos
- numeros reales
- Enteros
- Numeros racionales
- Numeros irracionales
- Números naturales
- Números complejos
- Ejercicios en conjuntos
- Ejercicios sobre números complejos
