Uno ecuación de segundo grado es la ecuación completa en la forma hacha2 + bx + c = 0, con números reales a, byc y a ≠ 0. Para resolver una ecuación de este tipo, puede utilizar diferentes métodos.
Utilice las resoluciones comentadas de los ejercicios a continuación para despejar todas sus dudas. También asegúrese de poner a prueba sus conocimientos con las preguntas del concurso resueltas.
Ejercicios comentados
Ejercicio 1
La edad de mi madre multiplicada por la mía es 525. Si cuando nací mi madre tenía 20 años, ¿cuántos años tengo yo?
Solución
Considerando mi edad igual a X, entonces podemos considerar que la edad de mi madre es igual a x + 20. ¿Cómo sabemos el valor del producto de nuestras edades? Entonces:
X. (x + 20) = 525
Aplicando a las propiedades distributivas de la multiplicación:
X2 + 20 x - 525 = 0
Luego llegamos a una ecuación completa de segundo grado, con a = 1, b = 20 yc = - 525.
Para calcular las raíces de la ecuación, es decir, los valores de x donde la ecuación es igual a cero, usemos la fórmula de Bhaskara.
Primero, debemos calcular el valor de ∆:
Para calcular las raíces usamos:
Sustituyendo los valores en la fórmula anterior, encontraremos las raíces de la ecuación, así:
Como mi edad no puede ser negativa, despreciamos el valor -35. Entonces el resultado es 15 años.
Ejercicio 2
Un cuadrado, representado en la figura siguiente, tiene forma rectangular y su área es igual a 1350 m.2. Sabiendo que su ancho corresponde a 3/2 de su altura, determine las dimensiones del cuadrado.
Solución
Considerando que su altura es igual a X, el ancho será entonces igual a 3 / 2x. El área de un rectángulo se calcula multiplicando su base por el valor de la altura. En este caso, tenemos:
Llegamos a una ecuación de segundo grado incompleta, con a = 3/2, b = 0 yc = - 1350, podemos calcular este tipo de ecuación aislando la x y calculando el valor de la raíz cuadrada.
Como el valor de x representa la medida de la altura, ignoraremos el - 30. Por tanto, la altura del rectángulo es igual a 30 m. Para calcular el ancho, multipliquemos este valor por 3/2:
Por lo tanto, el ancho del cuadrado es igual a 45 m y su altura es igual a 30 m.
Ejercicio 3
Entonces x = 1 es la raíz de la ecuación 2ax2 + (2do2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, los valores de a deberían ser:
a) 3 y 2
b) - 1 y 1
c) 2 y - 3
d) 0 y 2
e) - 3 y - 2
Solución
Para encontrar el valor de a, primero reemplacemos x con 1. De esta manera, la ecuación se verá así:
2.a.12 + (2do2 - para 4). 1-2 - a2 = 0
2do + 2do2 - a - 4 - 2 - a2 = 0
La2 + a - 6 = 0
Ahora, debemos calcular la raíz de la ecuación de segundo grado completa, para eso usaremos la fórmula de Bhaskara.
Por tanto, la alternativa correcta es la letra C.
Preguntas del concurso
1) Epcar - 2017
Considere, en ℝ, la ecuación (metro+2) x2 - 2metrox + (metro - 1) = 0 en la variable x, donde metro es un número real distinto de -2.
Revise las siguientes declaraciones y califíquelas como V (VERDADERO) o F (FALSO).
() Para todo m> 2, la ecuación tiene un conjunto de soluciones vacío.
() Hay dos valores reales de m para que la ecuación admita raíces iguales.
() En la ecuación, si ∆> 0, entonces m solo puede asumir valores positivos.
La secuencia correcta es
a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F
Veamos cada una de las declaraciones:
Para todo m> 2, la ecuación tiene un conjunto de solución vacío
Dado que la ecuación es de segundo grado en ℝ, no tendrá solución cuando el delta sea menor que cero. Calculando este valor, tenemos:
Entonces la primera afirmación es verdadera.
Hay dos valores reales de m para que la ecuación admita raíces iguales.
La ecuación tendrá raíces reales iguales cuando Δ = 0, es decir:
- 4m + 8 = 0
m = 2
Por lo tanto, la afirmación es falsa ya que solo hay un valor de m donde las raíces son reales e iguales.
En la ecuación, si ∆> 0, entonces m solo puede tomar valores positivos.
Para Δ> 0, tenemos:
Dado que en el conjunto de infinitos números reales hay números negativos menores que 2, la afirmación también es falsa.
Alternativa d: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017
Laura tiene que resolver una ecuación de 2º grado en el “hogar” pero se da cuenta de que al copiar del pizarrón al cuaderno, se olvidó de copiar el coeficiente de x. Para resolver la ecuación, la anotó de la siguiente manera: 4x2 + ax + 9 = 0. Como sabía que la ecuación tenía solo una solución, y esta era positiva, pudo determinar el valor de a, que es
a) - 13
b) - 12
c) 12
d) 13
Cuando una ecuación de segundo grado tiene una sola solución, el delta, de la fórmula de Bhaskara, es igual a cero. Entonces, para encontrar el valor de La, simplemente calcule el delta, igualando su valor a cero.
Entonces, si a = 12 o a = - 12, la ecuación tendrá solo una raíz. Sin embargo, todavía tenemos que comprobar cuál de los valores de La el resultado será una raíz positiva.
Para eso, encontremos la raíz, para los valores de La.
Entonces, para a = -12, la ecuación tendrá solo una raíz y será positiva.
Alternativa b: -12
3) Enem - 2016
Un túnel debe estar sellado con una cubierta de hormigón. La sección transversal del túnel y la cubierta de hormigón tienen los contornos de un arco de parábola y las mismas dimensiones. Para determinar el costo del trabajo, un ingeniero debe calcular el área bajo el arco parabólico en cuestión. Utilizando el eje horizontal a nivel del suelo y el eje de simetría de la parábola como eje vertical, obtuvo la siguiente ecuación para la parábola:
y = 9 - x2, donde xey se miden en metros.
Se sabe que el área bajo una parábola como esta es igual a 2/3 del área del rectángulo cuyas dimensiones son, respectivamente, iguales a la base y la altura de la entrada del túnel.
¿Cuál es el área del frente de la cubierta de hormigón, en metros cuadrados?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Para resolver este problema, necesitamos encontrar las medidas de la base y la altura de la entrada del túnel, como el problema nos dice que el área del frente es igual a 2/3 del área del rectángulo con estas dimensiones.
Estos valores se encontrarán a partir de la ecuación de segundo grado dada. La parábola de esta ecuación tiene la concavidad hacia abajo, porque el coeficiente La es negativo. A continuación se muestra un bosquejo de esta parábola.
En el gráfico, podemos ver que la medida de la base del túnel se encontrará calculando las raíces de la ecuación. Ya su altura, será igual a la medida del vértice.
Para calcular las raíces, observamos que la ecuación 9 - x2 está incompleta, por lo que podemos encontrar sus raíces igualando la ecuación a cero y aislando la x:
Por tanto, la medida de la base del túnel será igual a 6 m, es decir, la distancia entre las dos raíces (-3 y 3).
Mirando la gráfica, vemos que el punto del vértice corresponde al valor en el eje y que x es igual a cero, entonces tenemos:
Ahora que conocemos las medidas de la base y la altura del túnel, podemos calcular su área:
Alternativa c: 36
4) Cefet - RJ - 2014
¿Para qué valor de "a" la ecuación (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 tiene dos raíces e iguales?
a 1
b) 0
c) 1
d) 2
Para que una ecuación de segundo grado tenga dos raíces iguales, es necesario que Δ = 0, es decir, b2-4ac = 0. Antes de calcular el delta, necesitamos escribir la ecuación en la forma ax2 + bx + c = 0.
Podemos empezar aplicando la propiedad distributiva. Sin embargo, notamos que (x - 2) se repite en ambos términos, así que pongámoslo en evidencia:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (eje -2) = 0
Ahora, distribuyendo el producto, tenemos:
hacha2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Calculando el Δ e igualando a cero, encontramos:
Entonces, cuando a = 1, la ecuación tendrá dos raíces iguales.
Alternativa c: 1
Para obtener más información, consulte también:
- Ecuación de segundo grado
- Ecuación de primer grado
- Función cuadrática
- Función cuadrática - Ejercicios
- Función lineal
- Ejercicios de funciones relacionadas
