Los sistemas de ecuaciones de primer grado están constituidos por un conjunto de ecuaciones que presentan más de una incógnita.
Resolver un sistema es encontrar los valores que satisfacen todas estas ecuaciones simultáneamente.
Muchos problemas se resuelven mediante sistemas de ecuaciones. Por tanto, es importante conocer los métodos de resolución para este tipo de cálculo.
Aprovecha los ejercicios resueltos para resolver todas tus dudas sobre este tema.
Problemas comentados y resueltos
1) Aprendices de marinero - 2017
La suma de un número xy dos veces un número y es - 7; y la diferencia entre el triple de ese número x y el número y es igual a 7. Por tanto, es correcto afirmar que el producto xy es igual a:
a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2
Comencemos por construir las ecuaciones considerando la situación propuesta en el problema. Así tenemos:
x + 2.y = - 7 y 3.x - y = 7
Los valores de xey deben satisfacer ambas ecuaciones al mismo tiempo. Por tanto, forman el siguiente sistema de ecuaciones:
Podemos resolver este sistema por el método de la suma. Para hacer esto, multipliquemos la segunda ecuación por 2:
Sumando las dos ecuaciones:
Sustituyendo el valor de x encontrado en la primera ecuación, tenemos:
1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1
Por tanto, el producto xy será igual a:
x.y = 1. (- 4) = - 4
Alternativa: d) - 4
2) Colegio Militar / RJ - 2014
Un tren viaja de una ciudad a otra siempre a una velocidad constante. Cuando el viaje se realiza con 16 km / h más de velocidad, el tiempo invertido disminuye en dos horas y media, y cuando se realiza con 5 km / h menos de velocidad, el tiempo invertido aumenta en una hora. ¿Cuál es la distancia entre estas ciudades?
a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km
Dado que la velocidad es constante, podemos usar la siguiente fórmula:
Luego, la distancia se encuentra haciendo:
d = v.t
Para la primera situación tenemos:
v1 = v + 16 y t1 = t - 2,5
Reemplazando estos valores en la fórmula de distancia:
d = (v + 16). (t - 2,5)
d = v.t - 2.5v + 16t - 40
Podemos reemplazar v.t con d en la ecuación y simplificar:
-2,5 v + 16t = 40
Para la situación en la que la velocidad disminuye:
v2 = v - 5 y t2 = t + 1
Haciendo la misma sustitución:
d = (v -5). (t + 1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5
Con estas dos ecuaciones, podemos ensamblar el siguiente sistema:
Resolviendo el sistema por el método de sustitución, despeguemos la v en la segunda ecuación:
v = 5 + 5t
Reemplazando este valor en la primera ecuación:
-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5t + 16t = 40
3,5 t = 40 + 12,5
3,5 t = 52,5
Sustituyamos este valor para encontrar la velocidad:
v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km / h
Para encontrar la distancia, simplemente multiplique los valores de velocidad y tiempo encontrados. Así:
d = 80. 15 = 1200 km
Alternativa: a) 1200 km
3) Aprendices de marinero - 2016
Un estudiante pagó un refrigerio de 8 reales en 50 centavos y 1 real. Sabiendo que, para este pago, el alumno utilizó 12 monedas, determine, respectivamente, los montos de 50 centavos y una moneda real que se utilizaron para pagar la merienda y marcar la opción correcta.
a) 5 y 7
b) 4 y 8
c) 6 y 6
d) 7 y 5
e) 8 y 4
Considerando x la cantidad de monedas de 50 centavos, y la cantidad de monedas de 1 dólar y la cantidad pagada igual a 8 reales, podemos escribir la siguiente ecuación:
0.5x + 1y = 8
También sabemos que se utilizaron 12 monedas en el pago, así que:
x + y = 12
Montaje y solución del sistema por adición:
Reemplazando el valor encontrado de x en la primera ecuación:
8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4
Alternativa: e) 8 y 4
4) Colégio Pedro II - 2014
De una caja que contenía B bolas blancas y P bolas negras, se sacaron 15 bolas blancas, quedando entre las bolas restantes la proporción de 1 blanca a 2 negras. Luego, se retiraron 10 negros, dejando, en la caja, un número de bolas en la proporción de 4 blancos por 3 negros. Un sistema de ecuaciones para determinar los valores de B y P se puede representar mediante:
Considerando la primera situación indicada en el problema, tenemos la siguiente proporción:
Multiplicando esta proporción "en una cruz", tenemos:
2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30
Hagamos lo mismo para la siguiente situación:
3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5
Al juntar estas ecuaciones en un sistema, encontramos la respuesta al problema.
Alternativa: a)
5) Faetec - 2012
Carlos resolvió, en un fin de semana, 36 ejercicios de matemáticas más que Nilton. Sabiendo que el número total de ejercicios resueltos por ambos fue 90, el número de ejercicios que resolvió Carlos es igual a:
a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18
Considerando x como la cantidad de ejercicios resueltos por Carlos e y como la cantidad de ejercicios resueltos por Nilton, podemos configurar el siguiente sistema:
Sustituyendo x por y + 36 en la segunda ecuación, tenemos:
y + 36 + y = 90
2 años = 90 - 36
Reemplazando este valor en la primera ecuación:
x = 27 + 36
x = 63
Alternativa: a) 63
6) Enem / PPL - 2015
La carpa de tiro al blanco de un parque de atracciones dará un premio de R $ 20 al participante, cada vez que dé en el blanco. Por otro lado, cada vez que no alcanza el objetivo, debe pagar $ 10.00. No hay cargo inicial para jugar el juego. Un participante disparó 80 tiros y, al final, recibió R $ 100,00. ¿Cuántas veces acertó este participante en el objetivo?
a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64
Donde x es el número de disparos que dieron en el blanco e y es el número de disparos incorrectos, tenemos el siguiente sistema:
Podemos resolver este sistema por el método de la suma, multiplicaremos todos los términos de la segunda ecuación por 10 y sumaremos las dos ecuaciones:
Por lo tanto, el participante acertó en el objetivo 30 veces.
Alternativa: a) 30
7) Enem - 2000
Una compañía de seguros recopiló datos sobre automóviles en una ciudad en particular y descubrió que cada año se roban un promedio de 150 automóviles. La cantidad de autos de la marca X robados es el doble de la cantidad de autos de la marca Y, y las marcas X e Y juntas representan aproximadamente el 60% de los autos robados. El número esperado de coches de la marca Y robados es:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
El problema indica que la cantidad de autos robados de las marcas xey juntas equivale al 60% del total, entonces:
150.0,6 = 90
Teniendo en cuenta este valor, podemos escribir el siguiente sistema:
Sustituyendo el valor de x en la segunda ecuación, tenemos:
2y + y = 90
3 años = 90
Alternativa: b) 30
Vea también: Ejercicios de ecuación de primer grado con un desconocido