O mayor divisor común, más conocido comoMDC, es el número más grande que dividir dos o más números. Encontrar el MDC ayuda a resolver algunas situaciones problemáticas en nuestra vida diaria. Para calcularlo podemos escribir la lista de divisores de cada uno de los números y comparar o podemos usar el método de descomponer estos números en factores primos, también conocido como descomposición simultánea.
Lea también: Multiplicación y división de números negativos.
¿Cómo calcular el MDC?
El máximo común divisor entre dos o más números, como sugiere su nombre, es el divisor más grande que divide simultáneamente estos números. Para calcular el MDC, es bastante común utilizar el factorización, lo que facilita el proceso, pero simplemente podemos comparar los divisores de los números involucrados.
Método de comparación
Ejemplo
Encuentra el MDC de 18 y 12.
A modo de comparación, escribamos los 18 divisores y los 12 divisores.
D (18) = {1,2,3,6,9,18}
D (12) = {1,2,3,4,6,12}
Hay algunos divisores comunes, que son los números {1,2,3,6}. El MDC es el más grande.
MDC (12,18) = 6
Resulta que escribir los divisores numéricos puede ser una tarea muy laboriosa, por lo que una alternativa es utilizar la descomposición de factores. primos.
Ejemplo
Encuentre el MDC entre 45 y 36.
1er paso: descomponer cada uno de los números.
2do paso: conociendo las factorizaciones, encontremos cada uno de los factores comunes de estos números.
36 = 2 · 2 · 3 · 3
45 = 3 · 3 · 5
3er paso: determinar el MDC, que es el producto (multiplicación) de los factores que tienen en común.
MDC (36, 45) = 3 · 3
MDC (36, 45) = 9
Esto significa que el número más grande que es divisor de 36 y 45 al mismo tiempo es 9.
descomposición simultánea
O forma más rápida de encontrar el MDC entre dos números es la descomposición simultánea, también conocida como factorización simultánea. A diferencia de lo que hicimos en la descomposición anterior, vamos a descomponer los números para los que queremos calcular el MDC al mismo tiempo.
Ejemplo
Calcule el MDC de (48, 84).
1er paso: realizar la descomposición de ambos números y encontrar los factores que los dividen simultáneamente.
2do paso: realizar la multiplicación entre los factores en común.
MDC (48,84) = 2 · 2 · 3 = 12
Vea también: Factorización simultánea para encontrar MDC y MMC
Propiedades de MDC
Al calcular el MDC, hay algunos casos en los que no es necesario realizar la descomposición, porque si conocemos la propiedad, ya sabemos cuál es el MDC.
→ 1ra propiedad
El MDC entre dos números consecutivos siempre es igual a 1.
Ejemplo
MDC (102, 103) = 1
Cuando esto sucede, decimos que los números son primos entre sí porque no tienen ningún factor en común.
→ Segunda propiedad
Cuando tengamos dos o más números y uno de ellos sea divisor de los demás, entonces será el MDC.
Ejemplo
MDC (4.12.16)
Sabemos que 4 es divisor de 12 y 16, entonces:
MDC (4,12,16) = 4
Diferencia entre MDC y MMC
Ambos son igualmente importantes, pero representan cosas diferentes. El máximo común divisor, como hemos visto, es el número más grande que divide simultáneamente dos o más números. El MMC es el minimo común multiplo, eso es el número más pequeño que es múltiple simultaneamente de los números que queremos calcular.
En resumen, en MDC estamos trabajando con el divisores comunes y queremos encontrar el más grande su. En MMC, estamos trabajando con múltiplos en común y queremos encontrar el menor su.
Ejemplo
Dados los números 16 y 12, encuentre el MDC entre ellos.
Resolución:
Hagamos una lista de los 16 divisores y los 12 divisores.
D (16) = 1, 2, 4, 8, 16
D (12) = 1, 2, 3, 4, 6.12
Ahora busquemos el número más grande que divide a ambos al mismo tiempo:
MDC (16,12) = 4
Esto significa que 4 es el número más grande que divide 16 y 12 al mismo tiempo.
Ejemplo 2
Dados los números 16 y 12, encuentre el MMC entre ellos.
Resolución:
Hagamos una lista de los múltiplos de 16 y 12 hasta que encontremos uno que sea común a ambos.
M (12) = {0, 12, 24, 36, 48...}
M (16) = {0, 16, 32, 48 …}
MMC (12,16) = 48
Esto significa que 48 es el número más pequeño que es múltiplo de 12 y 16 al mismo tiempo.
Ejerciciosresuelto
Pregunta 1 - ¿Cuál es el MDC entre los números (15,16,17)?
a) 10
b) 5
c) 2
d) 1
e) 15
Resolución
Alternativa D. Como estamos trabajando con tres números consecutivos, sabemos que el MDC entre ellos siempre es igual a 1.
Pregunta 2 - En un juego para dos o más personas, hay 36 piezas triangulares y 60 piezas cuadradas. Sabiendo que, para poder jugar a este juego, las piezas deben estar repartidas equitativamente y no se puede dejar ninguna, ¿cuál es el número máximo de posibles participantes en el juego?
a) 12
b) 9
c) 8
d) 6
e) 4
Resolución
Alternativa A.
Queremos encontrar el MDC entre 36 y 60.
Factorizando 36 y 60, tenemos que:
36 = 2 · 2 · 3 · 3
60 = 2 · 2 · 3 · 5
MDC (36,60) 2 · 2 · 3 = 12
