Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario fueron desarrollados entre 1609 y 1619 por el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler. Las tres leyes de Kepler, utilizadas para describir la órbitas de los planetas de Sistema solar, fueron construidos sobre la base de medidas astronómicas precisas, obtenidas por el astrónomo danés. Tycho Brahe.
Introducción a las leyes de Kepler
Contribuciones dejadas por Nicolás Copérnico en el área de astronomía rompió con la visión geocentrista del Universo, derivado del modelo planetario de Claudio Ptolomeo. El modelo sugerido por Copérnico, aunque complejo, permitió la predicción y el explicación de las órbitas de varios planetas, sin embargo, tenía algunas fallas, siendo la más dramática una explicación satisfactoria de la órbita retrógrada de Marte durante ciertos períodos del año.
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La resolución de problemas inexplicables por el modelo planetario de Copérnico llegó solo en el siglo XVII, de la mano de Johannes Kepler.
Con ese fin, Kepler admitió que las órbitas planetarias no eran perfectamente circulares, sino más bien elíptico. En posesión de datos astronómicos extremadamente precisos, realizados por Brahe, Kepler estableció dos leyes que gobiernan el movimiento de los planetas, 10 años después, publicó una tercera ley, que permite estimar el período orbital o incluso el radio de la órbita de los planetas que giran alrededor del sol.
Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler del movimiento planetario se conocen como: ley de las órbitas elípticas,ley de áreas y ley de períodos. En conjunto, estos explican cómo funciona el movimiento de cualquier cuerpo que orbita una estrella masiva, como planetas o estrellas. Veamos lo que se establece en las leyes de Kepler:
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1a ley de Kepler: ley de las órbitas
LA Primera ley de Kepler afirma que la órbita de los planetas que giran alrededor del sol no es circular sino elíptica. Además, el Sol siempre ocupa uno de los focos de esta elipse. Aunque elípticas, algunas órbitas, como la de la Tierra, son muy cerca de un circulo, ya que son elipses que tienen un excentricidadmuchopequeño. La excentricidad, a su vez, es la medida que muestra cuánto difiere una figura geométrica de una circulo y se puede calcular por la relación entre los semiejes de la elipse.
"La órbita de los planetas es una elipse en la que el Sol ocupa uno de los focos".
2da ley de Kepler: ley de áreas
La segunda ley de Kepler establece que la línea imaginaria que conecta al Sol con los planetas que lo orbitan recorre áreas a intervalos de tiempo iguales. En otras palabras, esta ley establece que el la velocidad con la que se barren las áreas es la misma, es decir, la velocidad del halo de las órbitas es constante.
"La línea imaginaria que conecta el Sol con los planetas que lo orbitan recorre áreas iguales a intervalos de tiempo iguales".
Tercera ley de Kepler: ley de períodos o ley de armonía
La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital de un planeta (T²) es directamente proporcional al cubo de su distancia promedio al Sol (R³). Además, la relación entre T² y R³ tiene exactamente la misma magnitud para todas las estrellas que orbitan esta estrella.
"La relación entre el cuadrado del período y el cubo del radio promedio de la órbita de un planeta es constante".
La expresión utilizada para calcular la tercera ley de Kepler se muestra a continuación, compruébelo:
T - periodo orbital
R - radio medio de la órbita
Mira la siguiente figura, en ella mostramos los ejes mayor y menor de una órbita planetaria alrededor del Sol:
El radio medio de la órbita, utilizado en el cálculo de la tercera ley de Kepler, viene dado por el promedio entre los radios máximo y mínimo. Las posiciones que se muestran en la figura, que caracterizan la distancia más grande y más corta de la Tierra al Sol, se denominan afelio y perihelio, respectivamente.
Cuando la Tierra se acerca al perihelio, tu velocidad orbital aumenta, ya que el aceleración gravitacional del sol se intensifica. De esta forma, la Tierra tiene el máximo energía cinética cuando cerca del perihelio. Al acercarse al afelio, pierde energía cinética, por lo que su velocidad orbital se reduce a su medida más pequeña.
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La fórmula más detallada de la tercera ley de Kepler se muestra a continuación. Nótese que la relación entre T² y R³ está determinada exclusivamente por dos constantes, el número pi y la constante de gravitación universal, y también por la pasta del sol:
GRAMO - constante de gravitación universal (6.67.10-11 N.m² / kg²)
METRO - masa del Sol (1.989,1030 kg)
Esta ley no fue obtenida por Kepler, sino por Isaac Newton, mediante ley de la gravitación universal. Para hacerlo, Newton identificado que la fuerza de atracción gravitacional entre la Tierra y el Sol es una fuerza centrípeta. Observe el siguiente cálculo, muestra cómo es posible obtener, con base en la ley de la gravitación universal, la expresión general de la tercera ley de Kepler:
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Consulta la siguiente tabla, en la que mostramos cómo varían las medidas de T² y R³, además de su relación, para cada uno de los planetas del Sistema Solar:
Planeta |
Radio medio de órbita (R) en AU |
Periodo en años terrestres (T) |
T² / R³ |
Mercurio |
0,387 |
0,241 |
1,002 |
Venus |
0,723 |
0,615 |
1,001 |
tierra |
1,00 |
1,00 |
1,000 |
Marte |
1,524 |
1,881 |
1,000 |
Júpiter |
5,203 |
11,860 |
0,999 |
Saturno |
9,539 |
29,460 |
1,000 |
Urano |
19,190 |
84,010 |
0,999 |
Neptuno |
30,060 |
164,800 |
1,000 |
El radio promedio de las órbitas en la tabla se mide en unidades astronómicas (u). Una unidad astronómica corresponde a distanciapromedio entre la Tierra y el Sol, alrededor de 1.496,1011 metro. Además, las pequeñas variaciones en las relaciones T² sobre R³ se deben a limitaciones de precisión en las mediciones del radio orbital y el período de traducción de cada planeta.
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Ejercicios sobre las leyes de Kepler
Pregunta 1) (Ita 2019) Una estación espacial, Kepler, estudia un exoplaneta cuyo satélite natural tiene una órbita elíptica de semi-mayor a0 y período T0, donde d = 32a0 la distancia entre la estación y el exoplaneta. Un objeto que se desprende de Kepler es atraído gravitacionalmente al exoplaneta y comienza un movimiento de caída libre desde el reposo en relación con él. Despreciando la rotación del exoplaneta, la interacción gravitacional entre el satélite y el objeto, así como las dimensiones de todos los cuerpos involucrados, se calcula en función de T0 el tiempo de caída del objeto.
Realimentación: t = 32T0
Resolución:
Si tenemos en cuenta que la excentricidad de la trayectoria elíptica que describirá el objeto es aproximadamente igual a 1, Podemos suponer que el radio de la órbita del objeto será igual a la mitad de la distancia entre la estación espacial Kepler y la planeta. De esta forma, calcularemos cuánto tiempo debe acercarse el objeto al planeta desde su posición inicial. Para eso, debemos encontrar el período de la órbita, y el tiempo de caída, a su vez, será igual a la mitad de ese tiempo:
Después de haber aplicado la tercera ley de Kepler, dividimos el resultado entre 2, ya que lo que calculamos fue el período orbital, en el que, en la mitad del tiempo, el objeto cae hacia el planeta, y en la otra mitad, se aleja. Por tanto, el tiempo de caída, en términos de T0, es igual a 32T0.
Pregunta 2) (Udesc 2018) Analizarán las proposiciones sobre las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.
I. La velocidad de un planeta es máxima en el perihelio.
II. Los planetas se mueven en órbitas circulares, con el Sol en el centro de la órbita.
III. El período orbital de un planeta aumenta con el radio medio de su órbita.
IV. Los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos.
V. La velocidad de un planeta es mayor en afelio.
marque la alternativa correcto.
a) Solo las declaraciones I, II y III son verdaderas.
b) Solo los enunciados II, III y V son verdaderos.
c) Solo las declaraciones I, III y IV son verdaderas.
d) Solo las declaraciones III, IV y V son verdaderas.
e) Solo las declaraciones I, III y V son verdaderas.
Realimentación: Letra C
Resolución:
Veamos las alternativas:
I - VERDADERO. Cuando el planeta se acerca al perihelio, su velocidad de traslación aumenta, debido a la ganancia de energía cinética.
II - FALSO. Las órbitas planetarias son elípticas, con el Sol ocupando uno de sus focos.
III - VERDADERO. El período orbital es proporcional al radio de la órbita.
IV - VERDADERO. Esta afirmación se ve confirmada por la afirmación de la primera ley de Kepler.
V - FALSO. La velocidad de un planeta es máxima cerca del perihelio.
Pregunta 3) (UfSiguieron muchas teorías sobre el Sistema Solar, hasta que, en el siglo XVI, el polaco Nicolás Copérnico presentó una versión revolucionaria. Para Copérnico, el Sol, no la Tierra, era el centro del Sistema. Actualmente, el modelo aceptado para el Sistema Solar es básicamente el de Copérnico, con correcciones propuestas por el alemán Johannes Kepler y científicos posteriores.
Sobre la gravitación y las leyes de Kepler, considere las siguientes afirmaciones, cierto (Voy a falso (F).
I. Adoptando al Sol como referencia, todos los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol como uno de los focos de la elipse.
II. El vector de posición del centro de masa de un planeta en el Sistema Solar, relativo al centro de masa de la Sol, barre áreas iguales a intervalos de tiempo iguales, independientemente de la posición del planeta en su orbita.
III. El vector de posición del centro de masa de un planeta en el Sistema Solar, en relación con el centro de masa del Sol, barre áreas proporcionales a intervalos de tiempo iguales, independientemente de la posición del planeta en su orbita.
IV. Para cualquier planeta del Sistema Solar, el cociente del cubo del radio medio de la órbita y el cuadrado del período de revolución alrededor del Sol es constante.
marque la alternativa CORRECTO.
a) Todas las afirmaciones son verdaderas.
b) Solo las declaraciones I, II y III son verdaderas.
c) Solo las declaraciones I, II y IV son verdaderas.
d) Solo las declaraciones II, III y IV son verdaderas.
e) Solo las declaraciones I y II son verdaderas.
Plantilla: Letra c
Resolución:
I. CIERTO. El enunciado es el enunciado mismo de la primera ley de Kepler.
II. CIERTO. La declaración coincide con la definición de la segunda ley de Kepler.
III. FALSO. La determinación de la segunda ley de Kepler, que se deriva del principio de conservación del momento angular, implica que las áreas barridas son iguales para intervalos de tiempo iguales.
IV. CIERTO. La declaración reproduce la declaración de la tercera ley de Kepler, también conocida como la ley de los períodos.
Por mí. Rafael Helerbrock
