Considera el ecuación polinomial debajo de donde todos los coeficientes LaNoson enteros:
LaNoXNo + eln-1Xn-1 + eln-2Xn-2 +… + El2X2 + el1x + a0 = 0
O Teorema de las raíces racionales garantiza que si esta ecuación admite el número racional PAG/qué como raíz (con PAG
, qué 
y mdc (p, q) = 1), luego La0 es divisible por PAG y LaNo es divisible por qué.
Comentarios:
1º) El teorema de raíces racionales no garantiza que la ecuación polinomial tenga raíces, pero si existen, el teorema nos permite identificar todas las raíces de la ecuación;
2º) Si LaNo= 1 y los otros coeficientes son todos números enteros, la ecuación solo tiene raíces enteras.
3°) Si q = 1 y hay raíces racionales, estos son un todo y divisores de La0.
Aplicación del teorema de las raíces racionales:
Usemos el teorema para encontrar todas las raíces de la ecuación polinomial. 2x4 + 5 veces3 - 11 veces2 - 20x + 12 = 0.
Primero, identifiquemos las posibles raíces racionales de esta ecuación, es decir, las raíces de la forma PAG/qué. Según el teorema,
La0 es divisible por PAG; de esta manera, como La0 = 12, entonces los posibles valores de PAG son {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. De manera análoga, tenemos que LaNo es divisible por qué y LaNo = 2, luego qué puede tener los siguientes valores: {± 1, ± 2}. Por lo tanto, dividiendo los valores de PAG por qué, obtenemos valores posibles PAG/qué raíces de la ecuación: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Para confirmar que los valores que encontramos son realmente la raíz de la ecuación polinomial, sustituyamos cada valor en lugar del X de la ecuación. A través de cálculo algebraico, si el polinomio da como resultado cero, por lo que el número sustituido es en realidad la raíz de la ecuación.
2x4 + 5 veces3 - 11 veces2 - 20x + 12 = 0
Para x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Para x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
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Para x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Para x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Para x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Para x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Para x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Para x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Para x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Para x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Para x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Para x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Para x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Para x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Para x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Para x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Por lo tanto, las raíces de la ecuación polinomial 2x4 + 5 veces3 - 11 veces2 - 20x + 12 = 0 ellos son {– 3, – 2, ½, 2}. A través de teorema de descomposición polinomial, podríamos escribir esta ecuación como (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas
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RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Teorema de las raíces racionales"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Consultado el 28 de junio de 2021.
