LA significado geometrico junto con la media aritmética y la media armónica fueron desarrollados por la escuela pitagórica. A estadística es bastante común buscar representación de un conjunto de datos por un valor único para la toma de decisiones. Una de las posibilidades para el valor central es la media geométrica.
Es útil para representar un conjunto que tiene datos que se comportan cerca de un progresión geométrica, también para encontrar el lado de cuadrado y cubo, conociendo el área y el volumen respectivamente. La media geométrica también se aplica en situaciones de acumulación de porcentaje de aumento o disminución. Para calcular la media geométrica de un conjunto de n valores, calculamos la enésima raíz del producto de los elementos, es decir, si un conjunto tiene tres términos, por ejemplo, multiplicamos los tres y calculamos la raíz cúbica del producto.
Fórmula media geométrica
La media geométrica se usa para encontrar un valor medio entre un conjunto de datos. Para calcular la media geométrica, se requiere un conjunto con dos o más elementos. Sea A un conjunto de datos A = (x1, X2, X3,... XNo), un conjunto con n elementos, la media geométrica de este conjunto se calcula mediante:
Lea también: Medidas de dispersión: amplitud y desviación.
Cálculo de media geométrica
Sea A = {3,12,16,36}, ¿cuál será la media geométrica de este conjunto?
Resolución:
Para calcular la media geométrica, primero contamos el número de términos en el conjunto, en el caso n = 4. Entonces tenemos que:
Método 1: Realización de las multiplicaciones.
Como no siempre disponemos de calculadora para realizar la multiplicaciones, es posible realizar el cálculo en base a la factorización de un número natural.
Método 2: Factorización.
Usando las factorizaciones tenemos que:
Aplicaciones de la media geométrica
La media geométrica se puede aplicar a cualquier conjunto de datos estadísticos, pero normalmente es empleado en geometría, para comparar lados de prismas y cubos del mismo volumen, o cuadrados y rectángulos de la misma área. También hay aplicación en problemas de matemáticas financieras que implican una tasa porcentual acumulada, es decir, porcentaje bajo porcentaje. Además de ser la media más conveniente para datos que se comportan como una progresión geométrica.
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Ejemplo 1: Aplicación en porcentaje.
Un producto, durante tres meses, tuvo incrementos consecutivos, el primero fue del 20%, el segundo del 10% y el tercero del 25%. ¿Cuál fue el aumento porcentual promedio al final de este período?
Resolución
El producto costaba inicialmente el 100%, en el primer mes empezó a costar el 120%, que, en su forma decimal, se escribe como 1.2. Este razonamiento será el mismo para los tres incrementos, por lo que queremos la media geométrica entre: 1.2; 1,1; y 1,25.
El aumento es del 18,2% mensual en promedio.
Vea también: Cálculo de porcentaje con regla de tres
Ejemplo 2: Aplicación en geometría.
¿Cuál debería ser el valor de x en la imagen, sabiendo que el cuadrado y el rectángulo tienen la misma área?
Resolución:
Para encontrar el valor x del lado del cuadrado, calcularemos la media geométrica entre los lados del rectángulo.
Por lo tanto, el lado del cuadrado mide 12 cm.
Ejemplo 3: Progresión geométrica.
Cuáles son los términos de P.G., sabiendo que el antecesor del valor central es x, el valor central es 10 y el sucesor del valor central es 4x.
Resolución:
Conocemos los términos de P.G. (x, 10.4x) y sabemos que la media geométrica entre el sucesor y el predecesor es igual al término central del P.G., por lo que tenemos que:
Diferencia entre media geométrica y media aritmética
En estadística, la forma en que se comportan los datos es muy importante para elegir un único valor que los represente. Por eso hay tipos de medidas centrales y hay tipos de medios.
La elección de qué promedio usar debe hacerse teniendo en cuenta el conjunto de datos en el que estamos trabajando. Como se ve en el ejemplo, si son datos que se comportan cerca de una progresión geométrica y tienen el crecimiento más exponencial, se recomienda la media geométrica.
En otras situaciones, mayormente usamos el media aritmética, por ejemplo, el peso medio de una persona a lo largo del año. Al comparar el cálculo de dos tipos de media para el mismo conjunto de datos, la geométrica siempre será más pequeña que la aritmética.
Cuando comparamos la fórmula de la media aritmética con la fórmula de la media geométrica, notamos la diferencia, ya que la primera se calcula mediante suma de términos divididaLa por la cantidad de términos, mientras que el segundo, como hemos visto, se calcula mediante la raíz enésima del producto de todos los términos.
Ejemplo 4: Dado el conjunto (3, 9, 27, 81, 243), date cuenta de que es un P.G. de razón 3, ya que del primero al segundo término multiplicamos por tres, del segundo al tercero también, y así sucesivamente. Al buscar un valor central para representar este conjunto, idealmente debería ser el término central de la progresión, lo que sucede si calculamos la media geométrica. Sin embargo, al calcular la media aritmética, los valores mayores hacen que el valor de esta media sea demasiado alto en relación con términos del conjunto, y cuanto mayor sea el valor, más lejos de una representación del término central estará la media aritmética.
Resolución:
1a media aritmética
2da media geométrica
También acceda a: Moda, media y medianaa - medidas de centralidad
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - El precio de la gasolina en Brasil ha experimentado grandes incrementos en los últimos meses. Los incrementos mensuales en los últimos 4 meses fueron, respectivamente, del 9%, 15%, 25% y 16%. ¿Cuál fue el aumento porcentual promedio en este período?
a) 15%
b) 15,5%
c) 16%
d) 14%
e) 14,5%
Resolución
Alternativa A
Pregunta 2 - Un prisma de base rectangular tiene el mismo volumen que un cubo. Sabiendo que las dimensiones del prisma son 6 cm de largo, 20 cm de alto y 25 cm de ancho, ¿cuál es el valor del lado del cubo en centímetros?
Resolución:
Alternativa D
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
