Medidas de dispersión: varianza y desviación estándar

En el estudio de Estadística, tenemos algunas estrategias para verificar si los valores presentados en un conjunto de datos están dispersos o no y qué tan separados pueden estar. Las herramientas utilizadas para hacer esto posible se clasifican como medidas de dispersión y llamó diferencia y desviación estándar. Veamos qué representa cada uno de ellos:

Diferencia:

• Dado un conjunto de datos, la varianza es una medida de dispersión que muestra qué tan lejos está cada valor en ese conjunto del valor central (promedio).

• Cuanto menor sea la varianza, más cerca estarán los valores de la media; pero cuanto más grande es, más lejos están los valores de la media.

• Considere eso X₁, X₂, …, X_Noellos son las No elementos de un muestra es que X y la media aritmética de estos elementos. El cálculo de varianza de la muestra Está dado por:

  Var. muestra = (X₁ – X) ² + (x₂ – X) ² + (x₃ – X)² +... + (x_No – X)²
  ​n - 1

• Si, por el contrario, queremos calcular el varianza de la población, consideraremos todos los elementos de la población, no solo una muestra. En este caso, el cálculo tiene una pequeña diferencia. Mirar:

  Var. población = (X₁ – X) ² + (x₂ – X) ² + (x₃ – X)² +... + (x_No – X)²
  No

Desviacion estandar:

• La desviación estándar es capaz de identificar el "error" en un conjunto de datos, si quisiéramos reemplazar uno de los valores recolectados por la media aritmética.

• La desviación estándar aparece junto a la media aritmética, informando cuán “confiable” es este valor. Se presenta de la siguiente manera:

  media aritmética (X) ± desviación estándar (sd)

• El cálculo de la desviación estándar se realiza a partir de la raíz cuadrada positiva de la varianza. Por lo tanto:

  dp = √var

Apliquemos ahora el cálculo de la varianza y la desviación estándar en un ejemplo:

En una escuela, la junta decidió analizar la cantidad de estudiantes que tienen todas las calificaciones por encima del promedio en todas las materias. Para analizarlo mejor, la directora Ana decidió armar una tabla con la cantidad de calificaciones “azules” en una muestra de cuatro clases durante un año. Vea a continuación la tabla organizada por el director:

Antes de calcular la varianza, es necesario verificar la media aritmética(X) el número de estudiantes por encima del promedio en cada clase:

Sexto año → X = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4

Séptimo año → X = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4

Octavo año → X = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4

Noveno año → X = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4

Para calcular la varianza del número de estudiantes por encima del promedio en cada clase, usamos un muestra, es por eso que usamos la fórmula de varianza de la muestra:

Var. muestra = (X₁ – X) ² + (x₂ – X) ² + (x₃ – X)² +... + (x_No – X)²
n - 1

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Sexto año → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1

Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3

Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3

Var = 13,00
3
Var = 4,33

Séptimo año → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1

Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3

Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3

Var = 24,00
3
Var = 8,00

Octavo año → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1

Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3

Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3

Var = 20,74
3
Var = 6,91

Noveno año → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1

Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3

Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3

Var = 41,00
3
Var = 13,66

Una vez que se conoce la varianza de cada clase, ahora calculemos la desviación estándar:

Sexto año dp = √var dp = √4,33 ​dp ≈ 2,08

Séptimo año dp = √var dp = √8,00 ​dp ≈ 2,83

Octavo año dp = √var dp = √6,91 ​dp ≈ 2,63

Noveno año dp = √var dp = √13,66 ​dp ≈ 3,70

Para concluir su análisis, la directora puede presentar los siguientes valores que indican el número promedio de estudiantes por encima del promedio por clase encuestada:

Sexto año: 7,50 ± 2,08 estudiantes por encima del promedio por trimestre;
Séptimo año: 8,00 ± 2,83 estudiantes por encima del promedio cada dos meses;
Octavo año: 8,75 ± 2,63 estudiantes por encima del promedio cada dos meses;
Noveno año: 8,50 ± 3,70 estudiantes por encima del promedio cada dos meses;

Otra medida de dispersión es la coeficiente de variación. vea aqui como calcularlo!

Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas