Mersenne, números primos y números perfectos

Decimos que un número natural es perfecto si es igual a la suma de todos sus factores (divisores), excluyéndose a sí mismo. Por ejemplo, 6 y 28 son números perfectos, consulte:
6 = 1 + 2 + 3 (factores de 6: 1, 2, 3 y 6), excluimos el número 6.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (factores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), excluimos el 28.
Los números de Mersenne son aquellos en la forma Mn = 2n - 1. Incluso pensó que esta expresión sería capaz de calcular posibles primos considerando n = primos, pero luego resultó que estaba casi en lo cierto. Por ejemplo:
METRO₁ = 2¹ – 1 = 1
METRO₂ = 2² - 1 = 3 → n = 2 (primo), M₂ = 3 (primo)
METRO₃ = 2³ - 1 = 7 → n = 3 (primo), M₃ = 7 (primo)
METRO₄ = 2⁴ – 1 = 15
METRO₅ = 2⁵ - 1 = 31 → n = 5 (primo), M₅ = 31 (primo)
METRO₆ = 2⁶ – 1 = 63
METRO₇ = 2⁷ - 1 = 127 → n = 7 (primo), M₇ = 127 (primo)
METRO₈ = 2⁸ – 1 = 255
METRO₉ = 2⁹ – 1 = 511
METRO₁₀ = 2¹⁰ – 1 = 1023
METRO₁₁ = 2¹¹ - 1 = 2047 → n = 11 (primo), M₁₁ = 2047 (no primo)
METRO₁₃ = 2¹³ - 1 = 8191 → n = 13 (primo), M₁₃

= 8191 (primo)
Dentro de la secuencia de números primos hay elementos que aplicados en la fórmula de Mersenne no generan elementos primos, por ejemplo el número 11, cuando se aplica a la fórmula resultó en 2047, un número que no prima.
El conocimiento de los números perfectos se atribuye a Euclides, el famoso matemático griego que fundó la Geometría. El método que usa comienza con 1 sumando potencias de 2 a un primo. Entonces se obtiene un número perfecto multiplicando la suma por la última potencia de 2.

Tenga en cuenta la relación entre el número perfecto y los números primos de Mersenne.

No pares ahora... Hay más después de la publicidad;)

por Mark Noah
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil

Conjuntos numéricos - Matemáticas - Escuela Brasil

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SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Mersenne, números primos y números perfectos"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm. Consultado el 27 de junio de 2021.