Imagina jugar con canicas para formar triángulos. Primero puedes considerar que una bola es como un pequeño triángulo:
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Luego colocas dos canicas debajo de ellas y formas los tres vértices de una triángulo:
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Si colocas otras tres bolas debajo de estas, formará otro triángulo:
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En cada paso de agregar bolas en relación a la cantidad previamente colocada, siempre habrá la formación de triángulos. Vea el triángulo formado agregando cuatro bolas más:
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El número total de bolas en cada paso caracteriza una clase de números denominada números triangulares. El matemático Karl Friedrich Gauss descubrió una fórmula para indicar la cantidad total en cada triángulo, donde s1correspondía al primer triángulo, s2, al segundo triángulo, y así sucesivamente. Las sumas descritas por Gauss comenzaron con a y, en cada etapa, se agregó un número que correspondía a una unidad por encima del último número agregado:
s1 = 1
s2= 1 + 2 = 3
s3 = 1 + 2 + 3 = 6
s4= 1 + 2 + 3 + 4 = 10
s5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Los resultados de estas sumas fueron los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15... Tenga en cuenta que hay un patrón establecido en cada una de estas sumas. Mirando con atención, podemos ver que cada uno de ellos es un progresión aritmética de la razón 1. Así que aquí está el suma de gauss, que establece que, en una suma de razón constante, si sumamos el primer elemento al último, obtendremos el mismo resultado que sumar el segundo elemento al penúltimo. Veamos cómo ocurre el proceso de suma de Gauss para sumas. s6 y s7:
Proceso de suma de Gauss aplicado a la suma de números triangulares
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si parar s6 y s7 tenemos las sumas de la imagen de arriba, reproduzcamos esta suma para s8, S9, S10 y s11:
s8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
s9= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
s10= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
s11= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66
Podemos generalizar para obtener una suma de sno:
sno = norte. (n + 1), si n es par
2
sno = (n - 1).(n + 1) + (n - 1) + 1, si n es impar
2 2
como en magia de números, podemos mostrar otro hecho interesante sobre los números triangulares: la suma de los números triangulares subsiguientes siempre da como resultado números que se pueden clasificar como cuadrados perfectos, es decir, números que tienen raíz cuadrado. Vamos a ver:
s1 + S2 = 1 + 3 = 4
s2 + S3 = 3 + 6 = 9
s3 + S4 = 6 + 10 = 16
s4 + S5 = 10 + 15 = 25
s5 + S6 = 15 + 21 = 36
s6 + S7 = 21 + 28 = 49
s7 + S8 = 28 + 36 = 64
s8 + S9 = 36 + 45 = 81
s9 + S10 = 45 + 55 = 100
s10 + S11 = 55 + 66 = 121
Los resultados obtenidos, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 y 121, son todos cuadrados perfectos.
Por Amanda Gonçalves
Licenciada en Matemáticas
¿Le gustaría hacer referencia a este texto en una escuela o trabajo académico? Vea:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Números triangulares"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-triangulares.htm. Consultado el 27 de julio de 2021.
