En operaciones entre matrices, sabemos que la multiplicación de matrices es un proceso largo y laborioso. Así, hoy conoceremos un teorema que evita tener que encontrar el producto-matriz para calcular su determinante, y en el que se puede utilizar el determinante de cada matriz por separado.
Para ello, enunciaremos el teorema de Binet y veremos cómo se aplica en el cálculo de determinantes.
"Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden y AB la matriz del producto, así tenemos que det (AB) = (det A). (Det B)".
Es decir, en lugar de encontrar el producto-matriz y luego calcular su determinante, es posible calcular el determinante de cada matriz y multiplicarlos.
Veamos un ejemplo para entender qué tan difícil sería el trabajo si el teorema de Binet no existiera.
Ejemplo 1:
Si no tuviéramos el teorema de Binet, tendríamos que hacer el siguiente proceso para calcular det (A.B).
1. Encuentre la matriz de producto (A.B).
2. Calcule el determinante del producto-matriz.
Si no tuvieras una calculadora para hacer estas multiplicaciones con números grandes, sería complicado, ¿no?
Vea el cálculo del mismo determinante, pero usando el teorema de Binet.
Primero encontremos el determinante de cada matriz, por separado:
Como hemos visto, por el teorema de Binet, det (AB) = (det A). (Det B):
Ejemplo 2:
Haremos los cálculos nuevamente usando los dos procedimientos:
Realmente es un proceso mucho más fácil y práctico en comparación con el anterior, al fin y al cabo se ahorra el trabajo de tener que buscar la matriz-producto, que es un proceso largo y laborioso. Además, el determinante del producto matricial suele tener un producto de números grandes, lo que implica un laborioso cálculo de multiplicación y suma de varios números.
Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Licenciada en Matemáticas
Equipo Escolar de Brasil
Matriz y determinante- Matemáticas - Escuela Brasil
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-binet.htm