Sine, Cosine και Tangent είναι τα ονόματα που δόθηκαν τριγωνομετρικές αναλογίες. Τα περισσότερα από τα προβλήματα που αφορούν υπολογισμούς απόστασης επιλύονται χρησιμοποιώντας το τριγωνομετρία. Και για αυτό, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε τα βασικά του, ξεκινώντας από το ορθογώνιο τρίγωνο.
Οι τριγωνομετρικές αναλογίες είναι επίσης πολύ σημαντικές, καθώς σχετίζονται με τις μετρήσεις και στις δύο πλευρές του τρίγωνο με μία από τις οξείες γωνίες, συσχετίζοντας αυτή τη σχέση με ένα πραγματικός αριθμός.
Δείτε περισσότερα: Προσδιορισμός των τεταρτημορίων του τριγωνομετρικού κύκλου
Χαρακτηριστικά του σωστού τριγώνου
Το δεξί τρίγωνο σχηματίζεται από ένα γωνία 90 ° (ευθεία γωνία). Οι άλλες γωνίες είναι μικρότερες από 90º, δηλαδή είναι οξείες και, επιπλέον, γνωρίζουμε ότι οι μεγαλύτερες πλευρές είναι πάντα αντίθετες από τις μεγαλύτερες γωνίες. Στο δεξί τρίγωνο, η μεγαλύτερη πλευρά ονομάζεται υποτείνουσα και είναι "μπροστά" από τη σωστή γωνία, οι άλλες πλευρές ονομάζονται πετρώματα.
Στο παραπάνω τρίγωνο, έχουμε ότι οι πλευρές που μετρούν τα c και b είναι τα πόδια και η πλευρά που μετρά το a είναι η υπόταση. Σε κάθε σωστό τρίγωνο, η σχέση γνώριζε ως Πυθαγόρειο θεώρημα είναι έγκυρο.
ο2 = β2 + γ2
Στο κολάρο peccary, από τώρα και στο εξής, θα δοθούν επίσης ειδικά ονόματα. Οι ονοματολογίες των ποδιών θα εξαρτηθούν από τη γωνία αναφοράς. Λαμβάνοντας υπόψη τη γωνία με μπλε χρώμα στην παραπάνω εικόνα, έχουμε ότι η πλευρά που μετρά το b είναι η απέναντι πόδι, και η πλευρά που βρίσκεται δίπλα στη γωνία, δηλαδή, η μέτρηση c είναι η παρακείμενο πόδι.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση.)
Ημίτονο
Πριν ορίσετε έναν τύπο για το ημιτονοειδές σημείο, ας καταλάβουμε την ιδέα του ημιτονοειδούς. Φανταστείτε μια ράμπα, στην οποία μπορούμε να προσδιορίσουμε το λόγος μεταξύ ύψους και πορείας, σωστά; Αυτή η αναλογία θα ονομάζεται ημίτονο της γωνίας α.
Ετσι,
sin α = ύψος
Διαδρομή
συνημίτονο
Ανάλογα με την ιδέα του ημιτονοειδούς, έχουμε την αίσθηση του συνημίτονου, ωστόσο, σε μια ράμπα, το συνημίτονο είναι η αναλογία μεταξύ της απόστασης από το έδαφος και του μονοπατιού κατά μήκος της ράμπας.
Ετσι:
cos α = μετακίνηση
Διαδρομή
Εφαπτομένος
Παρόμοια με τις ιδέες του ημιτονοειδούς και του συνημίτονου, η εφαπτομένη είναι η αναλογία μεταξύ του ύψους και της απόστασης μιας ράμπας.
Ετσι:
tg α = ύψος
μετακίνηση
Η εφαπτομένη μας δίνει ρυθμός ανόδου.
Διαβάστε επίσης: Τριγωνομετρία σε οποιοδήποτε τρίγωνο
Σχέση μεταξύ ημιτονοειδούς, συνημίτονου και εφαπτομένου
Σε γενικές γραμμές, μπορούμε στη συνέχεια να ορίσουμε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σωστό τρίγωνο χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες ιδέες. Δες παρακάτω:
Πρώτα παίρνοντας το γωνία α ως αναφορά, έχουμε:
sin α = αντίθετη πλευρά = ντο
υποτεθεί σε
cos α = γειτονική γάτα = σι
υποτεθεί σε
tg α = αντίθετη πλευρά = ντο
Γειτονική γάτα β
Τώρα παίρνοντας τη γωνία β ως αναφορά, έχουμε:
sin β = αντίθετη πλευρά = σι
υποτεθεί σε
cos β = γειτονική γάτα = ντο
υποτεθεί σε
tg β = αντίθετη πλευρά = σι
παρακείμενος καθετήρας γ
Τριγωνομετρικοί πίνακες
Υπάρχουν τρεις τιμές γωνίας που πρέπει να γνωρίζουμε. Είναι αυτοί:
Οι άλλες τιμές δίνονται στις δηλώσεις των ασκήσεων ή μπορούν να ελεγχθούν στον παρακάτω πίνακα, αλλά μην ανησυχείτε, δεν είναι απαραίτητο να τις έχετε απομνημονεύσει (εκτός από αυτές στον προηγούμενο πίνακα).
Γωνία (°) |
ημίτονο |
συνημίτονο |
εφαπτομένος |
Γωνία (°) |
ημίτονο |
συνημίτονο |
εφαπτομένος |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Επίσης γνωρίζω: Ασφαλές, κοκκομετρικό και συντεταγμένο
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - Προσδιορίστε την τιμή των x και y στο ακόλουθο τρίγωνο.
Λύση:
Δείτε στο τρίγωνο ότι η γωνία που δόθηκε ήταν 30 °. Ακόμα κοιτάζοντας το τρίγωνο, έχουμε την πλευρά που μετρά Χ είναι το απέναντι πόδι στη γωνία 30 ° και στην πλευρά που μετρά γ είναι το παρακείμενο πόδι υπό γωνία 30 °. Επομένως, πρέπει να αναζητήσουμε μια τριγωνομετρική αναλογία που σχετίζεται με αυτό που ψάχνουμε με αυτό που δίνεται (υποτείνουσα). Σύντομα:
αμαρτία 30 ° = αντίθετη πλευρά
Υποτείνουσα
cos 30 ° = γειτονική γάτα
Υποτείνουσα
Προσδιορίστηκε η τιμή του x:
αμαρτία 30 ° = αντίθετη πλευρά
Υποτείνουσα
αμαρτία 30 ° = Χ
2
Κοιτάζοντας τον πίνακα, πρέπει:
αμαρτία 30 ° = 1
2
Αντικαθιστώντας την στην εξίσωση, θα έχουμε:
1 = Χ
2 2
x = 1
Ομοίως, θα εξετάσουμε
Ετσι:
Cos 30 ° = √3
2
cos 30 ° = γειτονική γάτα
Υποτείνουσα
cos 30 ° = Γ
2
√3 = Γ
2 2
y = √3
Ερώτηση 2 - (PUC-SP) Ποια είναι η τιμή του x στο παρακάτω σχήμα;
Λύση:
Βλέποντας το μεγαλύτερο τρίγωνο, παρατηρήστε ότι το y είναι απέναντι από τη γωνία 30 ° και ότι το 40 είναι η υπόταση, δηλαδή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τριγωνομετρική αναλογία ημιτονοειδούς.
αμαρτία 30 ° = Γ
40
1 = Γ
2 40
2 y = 40
y = 20
Τώρα κοιτάζοντας το μικρότερο τρίγωνο, δείτε ότι έχουμε την τιμή της αντίθετης πλευράς και αναζητούμε την τιμή του x, που είναι η παρακείμενη πλευρά. Η τριγωνομετρική σχέση που περιλαμβάνει αυτά τα δύο σκέλη είναι η εφαπτομένη. Ετσι:
tg 60 ° = 20
Χ
√3= 20
Χ
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:
ΛΟΥΙΖ, Ρόμπσον. "Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη" Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm. Πρόσβαση στις 27 Ιουνίου 2021.
