Στο αλγεβρικά κλάσματα είναι κλασματικές αλγεβρικές εκφράσεις που έχουν τουλάχιστον μία άγνωστη στον παρονομαστή. Συχνά, υπάρχουν παράγοντες που εμφανίζονται τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή αυτών των κλασμάτων, αφήνοντας τη δυνατότητα απλούστευσής τους. Αυτό που πολλοί αγνοούν είναι ότι υπάρχουν ορισμένοι κανόνες, που μελετήθηκαν από την αρχή του Δημοτικού Σχολείου, που καθοδηγούν αυτήν τη διαδικασία απλοποίησης. Επομένως, οποιοδήποτε απλοποίηση που παραβιάζει αυτούς τους κανόνες έχει μεγάλες πιθανότητες να κάνει λάθος. Επομένως, παραθέτουμε παρακάτω τα τρία πιο συχνά σφάλματα στην απλοποίηση των αλγεβρικών κλασμάτων και τον σωστό τρόπο εκτέλεσης αυτών των διαδικασιών.
Πριν προχωρήσετε, σας συνιστούμε να διαβάσετε το άρθρο Απλοποίηση αλγεβρικού κλάσματος για όσους εξακολουθούν να έχουν ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα.
1 - Κόψτε στοιχεία ίσο με τον αριθμητή και τον παρονομαστή
Αυτό είναι το πιο κοινό λάθος. Στην αρχή της μάθησης, οι μαθητές θέλουν να «κόψουν» όλα τα ίδια στοιχεία στον αριθμητή και τον παρονομαστή του a
αλγεβρικό κλάσμα. Ωστόσο, δεν είναι ίσα στοιχεία που πρέπει να «κόβονται», αλλά, ναι, παράγοντες ισούται.Ο κανόνας έχει ως εξής: Αν υπάρχει ίσοι παράγοντες στον αριθμητή και τον παρονομαστή, αυτοί οι παράγοντες μπορούν να μειωθούν. Θυμηθείτε: το διαίρεση μεταξύ τους θα δώσει 1, το οποίο δεν επηρεάζει μια διαίρεση ή πολλαπλασιασμός. Καθώς αυτοί οι παράγοντες εξαφανίζονται απλά, αυτή η διαδικασία έχει γίνει γνωστή ως «κοπή». Να θυμάστε επίσης ότι οι αριθμοί σε έναν πολλαπλασιασμό ονομάζονται παράγοντες.
Στοιχεία που προστίθενται ή αφαιρούνται δεν μπορείς να κοπεί, επειδή η διαίρεσή του δεν έχει ως αποτέλεσμα 1. Έτσι, λαμβάνοντας το παρακάτω παράδειγμα που περιλαμβάνει ένα άθροισμα, θα δούμε τον σωστό και εσφαλμένο τρόπο εκτέλεσης του απλοποίηση.
Παράδειγμα: Απλοποιήστε το ακόλουθο αλγεβρικό κλάσμα.
4x + 4γ
x + ε
Ανακριβής:
4Χ + 4γ = 4 + 4 = 8
Χ + γ
Σημειώστε ότι οι άγνωστοι αριθμοί που έχουν αποκοπεί (επισημαίνονται με κόκκινο χρώμα) δεν είναι παράγοντες πολλαπλασιασμού, αλλά τμήματα μιας προσθήκης. Επομένως, η περικοπή που έγινε παραπάνω είναι λάθος.
Σωστά:
4x + 4γ
x + ε
κάνοντας τη διαδικασία του πολυωνυμική παραγοντοποίηση κατά κοινό παράγοντα, θα έχουμε:
4(x + ε) = 4
x + ε
Στον αριθμητή του αλγεβρικού κλάσματος, βρίσκουμε έναν πολλαπλασιασμό όπου οι παράγοντες είναι 4 και x + y. Στον παρονομαστή, βρίσκουμε μόνο x + y. Σημειώστε ότι το x + y είναι ένας παράγοντας καθώς δεν προστίθεται ή αφαιρείται από οποιονδήποτε άλλο αριθμό ή άγνωστο. Για καλύτερη προβολή, απλώς τοποθετήστε παρενθέσεις:
4(x + ε) = 4
(x + ε)
Εάν, αντί για x + y, υπήρχε μόνο ο αριθμός 4 στον παρονομαστή, θα ήταν επίσης δυνατό να απλοποιηθεί, κόβοντας μόνο τον αριθμό 4.
Τώρα κοιτάξτε μια υπόθεση όπου δεν θα μπορούσε να υπάρχει απλοποίηση:
4(x + ε)
x + y + κ
* Το k είναι οποιοσδήποτε αριθμός, άγνωστος ή μονόχρωμος.
2 - Παράγοντας το τέλειο τετραγωνικό trinomial χρησιμοποιώντας την κοινή διαδικασία συντελεστή αποδεικτικών στοιχείων
Σχεδόν κάθε φορά πολυώνυμος σε ένα αλγεβρικό κλάσμα, πρέπει να ληφθεί υπόψη. Μετά από αυτό, οι παράγοντες που υπάρχουν στον αριθμητή και τον παρονομαστή πρέπει να συγκριθούν κατά την αναζήτηση αυτών που μπορεί να είναι απλοποιημένο (άλλη λέξη για το "cut").
Αυτό που συμβαίνει είναι ότι οι μαθητές αντιμετωπίζουν ένα τέλειο τετράγωνο trinomial και ξεχάστε ότι είναι το αποτέλεσμα ενός αξιοσημείωτο προϊόν, απλά επιστρέφοντας σε αυτό το προϊόν για να εκτελέσετε το παραγοντοποίηση. Γίνεται λοιπόν η προσπάθεια να τεκμηριώνονται κοινά στοιχεία.
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)
Οι άνθρωποι που κάνουν τέτοια προσπάθεια κάνουν συχνά το παραπάνω λάθος.
Σημειώστε το ακόλουθο παράδειγμα, το οποίο δείχνει επίσης τη σωστή μορφή και την πιο συχνή εσφαλμένη μορφή ανάλυσης.
Παράδειγμα: Απλοποιήστε το ακόλουθο αλγεβρικό κλάσμα.
4χ2 + 8xy + 4y2
x + ε
Ανακριβής:
4χ2 + 8xy + 4y2
x + ε
4 (x2 + 2xy + ε2)
x + ε
ή
4 (x + 2y) + 4y2
x + ε
Σημειώστε ότι δεν είναι καν δυνατή η απλοποίηση, ακριβώς επειδή η διαδικασία factoring δεν πραγματοποιήθηκε σωστά.
Σωστά:
4χ2 + 8xy + 4y2
x + ε
(2x + 2y)2
x + ε
(2x + 2y) (2x + 2ε)
x + ε
Σε αυτό το βήμα, σημειώστε ότι ο αριθμός 2 είναι κοινός σε όλα τα στοιχεία των δύο παραγόντων αριθμητή. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να λαμβάνονται υπόψη οι παράγοντες που είναι κοινές για τους δύο παράγοντες. Ως αποτέλεσμα θα έχουμε:
2 · (x + y) · 2 · (x + ε)
x + ε
2 · 2 · (x + y) (x + ε)
x + ε
4 · (x + y) (x + ε)
x + ε
Τώρα, ναι, μπορούμε να μειώσουμε τον παράγοντα που επαναλαμβάνεται τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή.
4 · (x + ε)(Χ + ε)= 4 · (x + ε)
x + ε
3 - Μπερδέψτε τα αξιόλογα προϊόντα
Σημειώστε τη λίστα των αξιοσημείωτων προϊόντων παρακάτω που περιλαμβάνει τετράγωνα ή προϊόν του αθροίσματος για τη διαφορά.
(x + ε)2 = x2 + 2xy + ε2
(x - ε)2 = x2 –2xy + y2
(x + y) (x - y) = x2 - ε2
Κάθε φορά που ένα πολυώνυμο παίρνει τη μορφή τέλειας τετραγωνικής τετράγωνης ή δύο τετραγωνικής διαφοράς - βρίσκεται στο δεξιά πλευρά των παραπάνω ισοτιμιών -, είναι δυνατή η αντικατάστασή τους από το αξιοσημείωτο προϊόν που τις δημιούργησε (αριστερή πλευρά αντίστοιχος).
Στο απλοποίηση των αλγεβρικών κλασμάτων, ξεχνώντας ότι το αξιοσημείωτο προϊόν αντιστοιχεί στο τέλειο τετράγωνο trinomial είναι ένα πολύ επαναλαμβανόμενο σφάλμα - ειδικά όταν πρόκειται για το δύο τετραγωνική διαφορά. Όταν εμφανίζεται, είναι σύνηθες να φανταζόμαστε ότι είναι ήδη συνυπολογισμένο ή ότι ο εκθέτης 2 μπορεί να τεθεί «σε απόδειξη» (και, φυσικά, δεν είναι δυνατό να γίνει αυτό).
Σημειώστε το ακόλουθο παράδειγμα που περιλαμβάνει διαφορά δύο τετραγώνων:
Παράδειγμα: Απλοποιήστε το ακόλουθο αλγεβρικό κλάσμα.
4χ2 - 4ε2
x + ε
Σωστός:
Να θυμάστε ότι ο αριθμητής έχει διαφορά δύο τετραγώνων και μπορεί να αντικατασταθεί από:
(2x - 2y) (2x + 2y)
x + ε
Η απλοποίηση θα γίνει με την τοποθέτηση των 2 σε αποδεικτικά στοιχεία, για άλλη μια φορά, στους δύο παράγοντες.
2 · (x - ε) · 2 · (x + y)
x + ε
2 · 2 · (x - ε) · (X + ε)
x + ε
4 · (x - ε)·(x + ε) = 4 · (x - ε)
x + ε
Σημειώστε ότι, στη διαφορά δύο τετραγώνων, σε έναν από τους παράγοντες υπάρχει μια προσθήκη και, στον άλλο, μια αφαίρεση.
Ανακριβής:
Χρησιμοποιήστε μία από τις άλλες δύο αξιοσημείωτες περιπτώσεις προϊόντων:
4χ2 - 4ε2
x + ε
(2x + 2y) (2x + 2y)
x + ε
Ή "βάλτε τα αποδεικτικά στοιχεία 2":
4χ2 - 4ε2
x + ε
4 (x - ε)2
x + ε
Για να αποφύγετε αυτά τα δύο τελευταία σφάλματα, προτείνουμε να διαβάσετε το κείμενο άθροισμα, Κοινός παράγοντας αποδεικτικών στοιχείων και Ενίσχυση.
Καλές μελέτες!
Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
