Όταν μελετάμε την πολυέδρα, συναντάμε το Τα στερεά του Πλάτωνα ως συγκεκριμένη περίπτωση. Για να είναι στερεό του Πλάτωνα, ο πολυέδρος πρέπει να πληροί τρεις προϋποθέσεις:
να είσαι κυρτός;
όλα τα πρόσωπα έχουν το ίδιο άκρο.
όλες οι κορυφές είναι άκρα του ίδιου αριθμού ακμών.
Αρκετοί φιλόσοφοι προσπάθησαν να καταλάβουν την προέλευση του Σύμπαντος και ο Πλάτων το είδε χωρική γεωμετρία η εξήγηση για αυτήν την προέλευση. Τα στερεά του Πλάτωνα είναι:
τετράεδρο;
εξάχρον;
οκτάεδρο;
δωδεκαέδρα;
icosahedron.
Όλα αυτά θεωρούνται κανονικά πολύγωνα, ως δικά τους τα άκρα και τα πρόσωπά τους είναι όλα όμοια. Τα στερεά του Πλάτωνα σέβονται το Η σχέση του Έυλερ, που αναφέρει τον αριθμό κορυφών, όψεων και άκρων με τον τύπο V + F = A + 2.
Διαβάστε επίσης: Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ επίπεδων και χωρικών μορφών;
κανονική πολυέδρα
Η αναζήτηση για κανονική πολυέδρα είναι επαναλαμβανόμενη, καθώς είναι πιο εύκολο να δουλέψετε. Ένα πολυέδρο ταξινομείται ως κανονικό εάν είναι έχει όλα τα πρόσωπα που σχηματίζονται από το ίδιο πολύγωνο σύμφωνος
. Όταν συμβεί αυτό, το γωνίες και οι άκρες είναι επίσης σύμφωνες.Τα στερεά του Πλάτωνα είναι συγκεκριμένες περιπτώσεις κανονικής πολυέδρας. Ο κύβος, για παράδειγμα, που είναι ένα στερεό Πλάτωνα, έχει όλα τα πρόσωπά του σχηματισμένα από σύμφωνες πλατείες. Των πέντε στερεών του Πλάτωνα, τρία σχηματίζονται από τριγωνικές όψεις με ομοιόμορφα τρίγωνα, το ένα σχηματίζεται από τετράγωνα πρόσωπα και το άλλο σχηματίζεται από πενταγωνικές όψεις.
Ποια είναι τα στερεά του Πλάτωνα;
Πλάτων ήταν Έλληνας φιλόσοφος και μαθηματικός. Έκανε μεγάλες συνεισφορές στα μαθηματικά και, προσπαθώντας να κατανοήσει το Σύμπαν, συνδέονται στερεά με στοιχεία της φύσης.
Για να είναι ένα πλατωνικό στερεό, το πολυέδρον πρέπει να είναι κανονική και κυρτή. Υπάρχουν μόνο πέντε στερεά που ικανοποιούν αυτόν τον ορισμό. Είναι: το τετράεδρο, ο κύβος ή το εξάχρον, το οκτάεδρο, το icosahedron και το δωδεκάεδρο.
Η σχέση που έγινε μεταξύ του στοιχείου της φύσης και του στερεού ήταν:
τετράεδρο - Φωτιά
εξάχρον - Γη
οκτάεδρο - αέρας
icosahedron - Νερό
δωδεκαέδρα - Cosmo ή Σύμπαν
Για να είσαι στερεός Πλάτων, Ο πολυέδρα πρέπει επίσης να είναι κυρτό, όλες οι όψεις πρέπει να έχουν τον ίδιο αριθμό άκρων και όλες οι κορυφές πρέπει να είναι άκρα του ίδιου αριθμού άκρων.
Δείτε επίσης: Κυβόλινθοι - γεωμετρικά στερεά που σχηματίζονται από επίπεδες και πολυγωνικές όψεις
κανονικό τετράεδρο
Το κανονικό τετράεδρο είναι ένα πολύεδρο που έχει 4 πρόσωπα, που δικαιολογεί το όνομά του (tetra = τέσσερα). όλα τα πρόσωπά σας είναι σχηματίζεται από τρίγωνα. Έχει σχήμα σαν πυραμίδα τριγωνικής βάσης και είναι γνωστή ως πυραμίδα κανονικής βάσης, καθώς όλα τα πρόσωπά της είναι ομοιόμορφα. Έχει συνολικά 4 πρόσωπα (σε μορφή ισόπλευρο τρίγωνο), 4 κορυφές και 6 άκρες.
Εάν θέλετε να δημιουργήσετε το δικό σας κανονικό τετράεδρο, απλώς κατεβάστε και εκτυπώστε το PDF εδώ.
Κανονικός κύβος ή εξάχρον
το κανονικό εξάχρον έχει 6 πρόσωπα, που δικαιολογεί το όνομά του (hex = έξι). τα πρόσωπα σου είναι όλα τετράγωνο. Είναι επίσης γνωστό ως κύβος και έχει 6 όψεις, 12 άκρες και 8 κορυφές.
Εάν θέλετε να δημιουργήσετε το δικό σας κύβο, απλώς κατεβάστε και εκτυπώστε το PDF εδώ.
Οκτάεδρο
Όπως και τα προηγούμενα, το όνομα συνδέεται με τον αριθμό των προσώπων, εξ ου και το οκτάεδρο έχει 8 πρόσωπα. Αυτά τα πρόσωπα έχουν ισόπλευρο σχήμα τριγώνου. Το οκτάεδρο έχει 8 όψεις, 12 άκρες και 6 κορυφές.
Εάν θέλετε να δημιουργήσετε το δικό σας οκταέδρα, απλώς κατεβάστε και εκτυπώστε το PDF εδώ.
icosahedron
Το icosahedron έχει συνολικά 20 πρόσωπα. Τα πρόσωπά τους έχουν σχήμα ισόπλευρα τρίγωνα, όπως το οκτάεδρο. Έχει συνολικά 20 όψεις, 30 άκρα και 12 κορυφές.
Εάν θέλετε να δημιουργήσετε το δικό σας icosahedron, απλώς κατεβάστε και εκτυπώστε το PDF εδώ.
Δωδεκάεδρο
Το δωδεκάεδρο είναι το τελευταίο από τα στερεά του Πλάτωνα. Έχει συνολικά 12 πρόσωπα και θεωρείται το πιο αρμονική μεταξύ των πέντε πλατωνικών στερεών. Τα πρόσωπά τους έχουν σχήμα πενταγώνων. Διαθέτει 12 όψεις, 30 άκρα και 20 κορυφές.
Αν θέλετε να δημιουργήσετε το δικό σας δωδεκάεδρο, απλώς κατεβάστε και εκτυπώστε το PDF εδώ.
Επίσης πρόσβαση: Κύλινδρος - γεωμετρικό στερεό που σχηματίζεται από δύο παράλληλες κυκλικές όψεις και σε διαφορετικά επίπεδα
Η φόρμουλα του Euler
Το Eulerian polyhedra είναι κυρτή πολυέδρα. Ο Euler ανέπτυξε έναν τύπο που σχετίζεται με τον αριθμό των όψεων (F), τον αριθμό των κορυφών (V) και τον αριθμό των άκρων (A) σε ένα κυρτό πολυέδρο. Όλα τα στερεά Plato ικανοποιούν τη σχέση Euler.
V + F = A + 2 |
Αναλύοντας τον τύπο, είναι τότε δυνατό να υπολογιστεί τον αριθμό των κορυφών από τον αριθμό των προσώπων και των άκρων ή τον αριθμό των προσώπων από τον αριθμό των κορυφών και των άκρων, τέλος, γνωρίζοντας δύο από τα στοιχεία του, είναι πάντα δυνατό να βρούμε το τρίτο.
Παράδειγμα:
Γνωρίζοντας ότι ένα πολυέδρον έχει 8 κορυφές και 12 άκρες και ότι είναι κανονικό, πόσα πρόσωπα έχει;
Γνωρίζουμε ότι V + F = A + 2
V = 8
Α = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - (Enem 2016) Τα στερεά του Πλάτωνα είναι κυρτή πολυέδρα των οποίων τα πρόσωπα είναι όλα όμοια με ένα πολύγωνο κανονική, όλες οι κορυφές έχουν τον ίδιο αριθμό ακραίων άκρων και κάθε άκρη μοιράζεται μόνο από δύο. πρόσωπα. Είναι σημαντικά, για παράδειγμα, στην ταξινόμηση των σχημάτων των ορυκτών κρυστάλλων και στην ανάπτυξη διαφόρων αντικειμένων. Όπως όλα τα κυρτά πολυεδρικά, τα στερεά του Πλάτωνα σέβονται τη σχέση Euler V - A + F = 2, όπου τα V, A και F είναι ο αριθμός κορυφών, άκρων και όψεων του πολυεδρού, αντίστοιχα.
Σε έναν κρύσταλλο, του οποίου το σχήμα είναι ένα πολυεδρικό τριγωνικό πρόσωπο του Πλάτωνα, ποια είναι η σχέση μεταξύ του αριθμού των κορυφών και του αριθμού των προσώπων;
A) 2V - 4F = 4
Β) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
Δ) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Ανάλυση
Εναλλακτική Γ. Δεδομένου ότι τα πρόσωπα είναι τριγωνικά, γνωρίζουμε ότι για κάθε πρόσωπο υπάρχουν 3 άκρα. Ωστόσο, για να συσχετίσετε τον αριθμό των άκρων με τον αριθμό των προσώπων, είναι σημαντικό να θυμάστε ότι κάθε άκρη περιέχεται σε δύο πρόσωπα, επειδή η συνάντηση των δύο προσώπων σχηματίζει ένα άκρο, έτσι μπορούμε να συσχετίσουμε την άκρη με πρόσωπο σε αυτή την περίπτωση ανά:
Έχοντας τη σχέση Euler ως V - A + F = 2 και αντικαθιστώντας το A, πρέπει:
Ερώτηση 2 - Από τις παρακάτω εναλλακτικές λύσεις, κρίνετε ποιο δεν είναι στερεό του Πλάτωνα.
Α) Κύβος
Β) Τακτικό τετραέδρον
Γ) Icosahedron
Δ) Δωδεκάεδρο
Ε) Κώνος
Ανάλυση:
Εναλλακτική Ε. Από τις εναλλακτικές λύσεις, το μόνο που δεν αντιστοιχεί σε ένα στερεό Πλάτωνα είναι το κώνος.
Από τον Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm